Gravitační pole - Kompletní zadání a řešení (1-14)

1

Gravitační síla Země-Měsíc

Tato síla drží Měsíc na oběžné dráze kolem Země a způsobuje přílivy a odlivy oceánů. Pochopení gravitační interakce mezi nebeskými tělesy je základem navigace kosmických lodí a předpovídání pohybu planet!

Zadání

Jaká gravitační síla působí mezi Zemí a Měsícem?

Dáno: m_Z = 5,972×10²⁴ kg, m_M = 7,342×10²² kg, r = 3,844×10⁸ m, G = 6,674×10⁻¹¹ N·m²·kg⁻²

Řešení

Analýza situace

Hledáme gravitační sílu mezi dvěma velmi hmotný mi tělesy - Zemí a Měsícem.

Dané hodnoty:

Hmotnost Země: m_Z = 5,972×10²⁴ kg
Hmotnost Měsíce: m_M = 7,342×10²² kg
Vzdálenost: r = 3,844×10⁸ m
Gravitační konstanta: G = 6,674×10⁻¹¹ N·m²·kg⁻²

Výběr fyzikální rovnice

Použijeme Newtonův gravitační zákon:

📐 Newtonův gravitační zákon

$$F_g = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$$

Dosazení hodnot

📐 Dosazení do vzorce

$$F_g = (6{,}674 \times 10^{-11}) \cdot \frac{(5{,}972 \times 10^{24}) \cdot (7{,}342 \times 10^{22})}{(3{,}844 \times 10^8)^2}$$

Výpočet

📐 Postupný výpočet

$$\begin{align} \text{Součin hmotností:} &\quad 5{,}972 \times 7{,}342 \approx 43{,}84 \rightarrow 43{,}84 \times 10^{46} \text{ kg}^2 \\ \text{Vzdálenost na druhou:} &\quad (3{,}844)^2 \approx 14{,}776 \rightarrow 14{,}776 \times 10^{16} \text{ m}^2 \\ \\ F_g &= (6{,}674 \times 10^{-11}) \cdot \frac{43{,}84 \times 10^{46}}{14{,}776 \times 10^{16}} \\ F_g &\approx (6{,}674 \times 10^{-11}) \cdot (2{,}967 \times 10^{30}) \\ F_g &\approx 19{,}80 \times 10^{19} \text{ N} \approx 1{,}98 \times 10^{20} \text{ N} \end{align}$$

Pozor na správné zacházení s mocninami desítky! Při násobení se exponent y sčítají, při dělení odčítají.

Kontrola a odpověď

Odpověď: Gravitační síla mezi Zemí a Měsícem je přibližně 1,98×10²⁰ N.

💡 Pro srovnání: Tato obrovská síla je ekvivalentní tíze asi 2×10¹⁹ tun!

Jak by se změnila síla, kdyby se vzdálenost Země-Měsíc zdvojnásobila?
Proč je gravitační konstanta G tak malé číslo?
Působí stejně velká síla i ze strany Měsíce na Zemi? (3. Newtonův zákon)

2

Závislost síly na vzdálenosti

Pochopení závislosti síly na vzdálenosti (1/r²) je klíčové pro návrh družic ových drah, plánování kosmických misí a pochopení stability planetárních systémů. Inženýři ESA a NASA s tím pracují každý den!

Zadání

Gravitační síla mezi dvěma tělesy je 2×10⁵ N. Jaká bude síla mezi tělesy:

a) když se jejich vzdálenost zdvojnásobí?

b) když bude hmotnost obou těles dvojnásobná?

Řešení

Analýza úměrnosti

Newtonův gravitační zákon říká, že gravitační síla závisí na:

Přímo úměrně na součinu hmotností: $F \propto m_1 \cdot m_2$
Nepřímo úměrně na druhé mocnině vzdálenosti: $F \propto \frac{1}{r^2}$

Pozor! Síla klesá s druhou mocninou vzdálenosti, ne lineárně. Zdvojnásobení vzdálenosti → síla klesne 4× (ne 2×)!

Část a) Zdvojnásobení vzdálenosti

Když $r_2 = 2r_1$, síla se změní podle poměru:

📐 Změna vzdálenosti

$$\begin{align} \frac{F_2}{F_1} &= \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{r_1}{2r_1}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \\ \\ F_2 &= \frac{F_1}{4} = \frac{2 \times 10^5 \text{ N}}{4} = 5 \times 10^4 \text{ N} \end{align}$$

Odpověď a): Síla klesne 4krát na hodnotu $5 \times 10^4$ N.

Část b) Zdvojnásobení hmotností

Když $m_1' = 2m_1$ a $m_2' = 2m_2$, síla se změní:

📐 Změna hmotností

$$\begin{align} \frac{F_3}{F_1} &= \frac{m_1' \cdot m_2'}{m_1 \cdot m_2} = \frac{(2m_1) \cdot (2m_2)}{m_1 \cdot m_2} = 4 \\ \\ F_3 &= 4 \cdot F_1 = 4 \cdot (2 \times 10^5 \text{ N}) = 8 \times 10^5 \text{ N} \end{align}$$

Odpověď b): Síla vzroste 4krát na hodnotu $8 \times 10^5$ N.

Kontrola a shrnutí

Shrnutí závislostí:

Vzdálenost 2× větší → síla 4× menší (1/r²)
Obě hmotnosti 2× větší → síla 4× větší (m₁ × m₂)

Co se stane se silou, když vzdálenost ztrojnásobíme?
Proč je závislost na r² a ne na r³?
Jak by se změnila síla, kdyby se zdvojnásobila jen jedna hmotnost?

3

Intenzita na povrchu Měsíce

Astronauti programu Apollo zažili měsíční gravitaci na vlastní kůži - mohli skákat výš a nosit těžké vybavení snadněji. Pochopení intenzity gravitačního pole je klíčové pro návrh skafandrů, pohyb vozítek a plánování měsíčních misí!

Zadání

Na astronauta o hmotnosti 75 kg působí v těžišti síla 126 N. Vypočítejte hodnotu intenzity na povrchu Měsíce.

4

Intenzita ve výšce nad Zemí

Zadání

Hodnota K na zemském povrchu je kolem 10 N·kg⁻¹. Stanovte hodnotu intenzity ve výšce h nad povrchem Země, jestliže:

a) h = R_Z (poloměr Země)

b) h = 3R_Z

Řešení

Analýza závislosti intenzity

Intenzita klesá s druhou mocninou vzdálenosti od středu Země: K ∝ 1/r²

Pozor! Vzdálenost r se počítá od STŘEDU Země, ne od povrchu. Při výšce h je celková vzdálenost r = R_Z + h!

Část a) Výška h = R_Z

📐 Výpočet pro h = R_Z

$$\begin{align} r_2 &= R_Z + h = R_Z + R_Z = 2R_Z \\ K_2 &= K_1 \cdot \left(\frac{R_Z}{r_2}\right)^2 = 10 \cdot \left(\frac{R_Z}{2R_Z}\right)^2 \\ &= 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{10}{4} = 2{,}5 \text{ N/kg} \end{align}$$

Odpověď a): Ve výšce $R_Z$ je intenzita 2,5 N/kg.

Část b) Výška h = 3R_Z

📐 Výpočet pro h = 3R_Z

$$\begin{align} r_3 &= R_Z + 3R_Z = 4R_Z \\ K_3 &= K_1 \cdot \left(\frac{R_Z}{r_3}\right)^2 = 10 \cdot \left(\frac{R_Z}{4R_Z}\right)^2 \\ &= 10 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{10}{16} = 0{,}625 \text{ N/kg} \end{align}$$

Odpověď b): Ve výšce $3R_Z$ je intenzita 0,625 N/kg.

Shrnutí

Intenzita klesá velmi rychle s výškou:

Na povrchu (h=0): K = 10 N/kg
Ve výšce R_Z: K = 2,5 N/kg (4× menší)
Ve výšce 3R_Z: K = 0,625 N/kg (16× menší)

Kontrola a odpověď

Odpověď:

a) Ve výšce $R_Z$ nad povrchem: $K = 2{,}5$ N/kg
b) Ve výšce $3R_Z$ nad povrchem: $K = 0{,}625$ N/kg

Ověření: Při zdvojnásobení vzdálenosti od středu (2$R_Z$) je intenzita 4× menší: $10/4 = 2{,}5$ ✓

Při zčtyřnásobení vzdálenosti (4$R_Z$) je intenzita 16× menší: $10/16 = 0{,}625$ ✓

Ve které výšce bude intenzita 9× menší než na povrchu?
Proč astronauti na ISS (h ≈ 400 km) pociťují téměř stejnou gravitaci jako na Zemi?

5

Gravitační zrychlení na Měsíci působící ze Země

Toto malé zrychlení udržuje Měsíc na jeho oběžné dráze a způsobuje přílivy a odlivy. Je to perfektní rovnováha - kdyby bylo větší, Měsíc by se k nám přibližoval, kdyby menší, oddaloval by se!

Zadání

Určete gravitační zrychlení, působící na Měsíci vlivem působení Země.

Dáno: G = 6,674×10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², M_Z = 5,972×10²⁴ kg, r = 3,844×10⁸ m

6

Gravitační zrychlení na povrchu Měsíce

Zadání

Vypočítejte hodnotu zrychlení na povrchu Měsíce.

Dáno: G = 6,674×10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², M_M = 7,342×10²² kg, R_M = 1,737×10⁶ m

7

Svislý vrh vzhůru

Svislý vrh popisuje pohyb rakety, míčů, střel i kamenů vyhozených vzhůru. Sportovní trenéři, kaskadéři a konstruktéři fontán využívají tyto výpočty každý den!

Zadání

Těleso se pohybuje svisle nahoru rychlostí 40 m·s⁻¹. Vypočítejte rychlost a vzdálenost v čase 2 sekundy od začátku pohybu. Určete maximální výšku a dobu výstupu. Vypočítejte rychlost dopadu a vzdálenost, do které dopadne na zem. Narýsujte grafy závislosti rychlosti na čase a okamžité rychlosti na čase, najděte rozdíly a diskutujte o nich.

Použijte: g ≈ 10 m·s⁻²

Řešení

Rychlost a výška v čase t = 2 s

📐 Kinematické rovnice

$$\begin{align} v(t) &= v_0 - g \cdot t = 40 - 10 \cdot 2 = 20 \text{ m/s} \\ y(t) &= v_0 \cdot t - \frac{1}{2}g \cdot t^2 = 40 \cdot 2 - 5 \cdot 4 = 80 - 20 = 60 \text{ m} \end{align}$$

Maximální výška a doba výstupu

V nejvyšším bodě je rychlost v = 0:

📐 Vrchol trajektorie

$$\begin{align} t_\text{výstupu} &= \frac{v_0}{g} = \frac{40}{10} = 4 \text{ s} \\ y_\text{max} &= v_0 \cdot t - \frac{1}{2}g \cdot t^2 = 40 \cdot 4 - 5 \cdot 16 = 160 - 80 = 80 \text{ m} \end{align}$$

Rychlost dopadu a konečná poloha

Pohyb je symetrický - doba sestupu = doba výstupu:

📐 Dopad

Celková doba letu: **8 s** $$v(8) = 40 - 10 \cdot 8 = -40 \text{ m/s}$$ (velikost 40 m/s, směr dolů) Konečná poloha: **0 m** (návrat na místo startu)

Grafy a jejich interpretace

Graf v(t): Přímka klesající z 40 m/s přes 0 (t=4s) do -40 m/s (t=8s)

Graf |v(t)|: Tvar "V" - klesá z 40 do 0, pak roste zpět na 40

Pozor na rozdíl! Rychlost v(t) je vektor (může být záporná), velikost rychlosti |v(t)| je vždy nezáporná.

Kontrola a odpověď

Odpověď:

V čase t=2s: rychlost $v = 20$ m/s, výška $y = 60$ m
Maximální výška: $y_\text{max} = 80$ m, doba výstupu $t = 4$ s
Rychlost dopadu: $|v| = 40$ m/s (směr dolů), celková doba letu: 8 s
Konečná poloha: 0 m (návrat na místo startu)

Ověření symetrie: Doba výstupu = doba sestupu = 4 s ✓

Ověření energie: Počáteční a konečná rychlost mají stejnou velikost (40 m/s) ✓

Proč je pohyb symetrický?
Co by se stalo s maximální výškou, kdyby byla počáteční rychlost 2× větší?
Proč je rychlost dopadu stejná jako počáteční rychlost (velikostí)?

8

Volný pád a svislý vrh z helikoptéry

Zadání

Těleso je vyhozeno z helikoptéry ve výšce 55 m od povrchu Země.

a) Jakou dobu bude padat a jakou rychlostí dopadne, je-li helikoptéra v okamžiku vyhození tělesa v klidu?

b) Jakou dobu bude padat a jakou rychlostí dopadne, klesá-li helikoptéra v okamžiku vyhození tělesa rychlostí 1 m·s⁻¹?

Dosazujte g = 9,81 m·s⁻². Výsledek uveďte s přesností na dvě desetinná místa.

Řešení

Část a) Volný pád (v₀ = 0)

📐 Volný pád

$$\begin{align} t &= \sqrt{\frac{2y}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 55}{9{,}81}} = \sqrt{11{,}213} \approx 3{,}35 \text{ s} \\ v &= g \cdot t = 9{,}81 \cdot 3{,}35 \approx 32{,}85 \text{ m/s} \end{align}$$

Část b) Svislý vrh dolů (v₀ = 1 m/s)

Kvadratická rovnice: $y = v_0 \cdot t + \frac{1}{2}g \cdot t^2$

📐 Řešení kvadratické rovnice

$$\begin{align} 55 &= 1 \cdot t + 4{,}905 \cdot t^2 \\ 4{,}905t^2 + t - 55 &= 0 \\ \\ t &= \frac{-1 + \sqrt{1 + 1079{,}1}}{9{,}81} \approx 3{,}25 \text{ s} \\ v &= v_0 + g \cdot t = 1 + 9{,}81 \cdot 3{,}25 \approx 32{,}87 \text{ m/s} \end{align}$$

Shrnutí

Počáteční rychlost dolů zkrátila dobu pádu o 0,1 s a zvýšila rychlost dopadu minimálně (+ 0,02 m/s).

Kontrola a odpověď

Odpověď:

a) Volný pád (v₀=0): doba pádu $t \approx 3{,}35$ s, rychlost dopadu $v \approx 32{,}85$ m/s
b) Svislý vrh dolů (v₀=1 m/s): doba pádu $t \approx 3{,}25$ s, rychlost dopadu $v \approx 32{,}87$ m/s

Ověření: Počáteční rychlost 1 m/s zkrátila dobu o $3{,}35 - 3{,}25 = 0{,}1$ s ✓

Konečné rychlosti se liší minimálně: $32{,}87 - 32{,}85 = 0{,}02$ m/s ✓

Proč je vliv počáteční rychlosti 1 m/s na konečnou rychlost tak malý?
Jaký by byl rozdíl, kdyby helikoptéra stoupala rychlostí 1 m/s?

9

Vodorovný vrh a energie šípu

Zákon zachování energie je jeden z nejfundamentálnějších přírodních zákonů. Používá se při navrhování horských drah, skokanských můstek, vodních fontán i při analýze balistických trajektorií!

Zadání

Šíp o hmotnosti 10 g byl vystřelen vodorovně z věže vysoké 80 m rychlostí 25 m·s⁻¹.

a) Do jaké vzdálenosti od paty věže dopadne na povrchu Země a jak dlouho bude padat?

b) Jaká bude jeho kinetická a potenciální energie na začátku pohybu?

c) Jaká bude celková mechanická energie během pohybu?

Použijte: g = 10 m·s⁻²

Řešení

Převod jednotek a analýza

m = 10 g = 0,01 kg

Vodorovný vrh: pohyb ve vodorovném směru rovnoměrný, ve svislém volný pád.

Část a) Vzdálenost a doba

📐 Vodorovný vrh

$$\begin{align} t &= \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 80}{10}} = \sqrt{16} = 4 \text{ s} \\ d &= v_x \cdot t = 25 \cdot 4 = 100 \text{ m} \end{align}$$

Část b) Počáteční energie

📐 Kinetická a potenciální energie

$$\begin{align} E_k &= \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}01 \cdot 25^2 = 3{,}125 \text{ J} \\ E_p &= mgh = 0{,}01 \cdot 10 \cdot 80 = 8 \text{ J} \end{align}$$

Část c) Celková mechanická energie

📐 Zákon zachování energie

$$E_m = E_k + E_p = 3{,}125 + 8 = 11{,}125 \text{ J}$$

💡 Celková energie zůstává konstantní během celého pohybu (bez odporu vzduchu)!

Kontrola a odpověď

Odpověď:

a) Doba pádu: $t = 4$ s, vzdálenost dopadu: $d = 100$ m
b) Počáteční energie: $E_k = 3{,}125$ J (kinetická), $E_p = 8$ J (potenciální)
c) Celková mechanická energie: $E_m = 11{,}125$ J (konstantní po celou dobu letu)

Ověření energie: $E_m = E_k + E_p = 3{,}125 + 8 = 11{,}125$ J ✓

Kontrola času: $t = \sqrt{2h/g} = \sqrt{160/10} = 4$ s ✓

Jak se mění Eₖ a Eₚ během letu?
Jaká bude kinetická energie těsně před dopadem?
Proč je užitečný zákon zachování energie?

10

Test automobilů - vodorovný vrh

Zadání

Výrobci automobilů testují odolnost aut testem na principu vodorovného vrhu. Auto, jedoucí po vodorovné rovině ve výšce 15 m rychlostí 20 m·s⁻¹, spadne z roviny na betonový povrch. Určete úhel dopadu, rychlost dopadu a vzdálenost na betonovém povrchu, kam dopadne.

Použijte: g = 10 m·s⁻²

Řešení

Doba letu

📐 Čas pádu

$$t = \sqrt{\frac{2y}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 15}{10}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73 \text{ s}$$

Vzdálenost dopadu

📐 Horizontální vzdálenost

$$x = v_x \cdot t = 20 \cdot 1{,}73 \approx 34{,}6 \text{ m}$$

Rychlost dopadu

📐 Složky rychlosti

$$\begin{align} v_x &= 20 \text{ m/s} \quad \text{(konstantní)} \\ v_y &= g \cdot t = 10 \cdot 1{,}73 = 17{,}3 \text{ m/s} \\ \\ v &= \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{400 + 299{,}29} \approx 26{,}4 \text{ m/s} \end{align}$$

Úhel dopadu

📐 Úhel vůči horizontále

$$\begin{align} \tan(\alpha) &= \frac{v_y}{v_x} = \frac{17{,}3}{20} = 0{,}865 \\ \alpha &= \arctan(0{,}865) \approx 40{,}8° \end{align}$$

Kontrola a odpověď

Odpověď:

Doba pádu: $t \approx 1{,}73$ s
Vzdálenost dopadu: $x \approx 34{,}6$ m
Rychlost dopadu: $v \approx 26{,}4$ m/s
Úhel dopadu: $\alpha \approx 40{,}8°$ (vůči horizontále)

Ověření rychlosti: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{20^2 + 17{,}3^2} = \sqrt{699{,}29} \approx 26{,}4$ m/s ✓

Kontrola: Vodorovná složka zůstává konstantní ($v_x = 20$ m/s), svislá roste ($v_y = gt$) ✓

Proč je vodorovná složka rychlosti konstantní během celého letu?
Jak by se změnil úhel dopadu, kdyby auto jelo rychleji?

11

Šikmý vrh fotbalového míče

Zadání

Fotbalista kopl míč pod úhlem 45°. Balón dopadne na zem ve vzdálenosti 40 m od místa výkopu. Jak velkou rychlost fotbalista udělil míči?

Použijte: g = 9,81 m·s⁻²

Řešení

Vzorec pro dostřel

Pro šikmý vrh platí vzorec pro vzdálenost:

📐 Dostřel šikmého vrhu

$$d = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2\alpha)}{g}$$

Zjednodušení pro α = 45°

📐 Speciální případ

$$\begin{align} \sin(2 \cdot 45°) &= \sin(90°) = 1 \\ \\ d &= \frac{v_0^2}{g} \end{align}$$

Tip: Úhel 45° dává maximální dostřel! Proto se sin(90°) = 1 a vzorec se zjednodušuje.

Výpočet rychlosti

📐 Vyjádření v₀

v₀² = d · g = 40 · 9,81 = 392,4 v₀ = √392,4 ≈ 19,8 m/s ≈ 71 km/h

Odpověď

Fotbalista udělil míči rychlost 19,8 m/s (přibližně 71 km/h).

Kontrola a odpověď

Odpověď: Počáteční rychlost míče byla $v_0 \approx 19{,}8$ m/s (≈ 71 km/h)

Ověření: $d = \frac{v_0^2}{g} = \frac{19{,}8^2}{9{,}81} = \frac{392{,}04}{9{,}81} \approx 40$ m ✓

Kontrola jednotek: $\frac{(\text{m/s})^2}{\text{m/s}^2} = \text{m}$ ✓

Speciální vlastnost úhlu 45°: Maximální dostřel při dané počáteční rychlosti ✓

Proč úhel 45° dává maximální dostřel?
Do jaké maximální výšky by míč vyletěl?
Jak by se změnil dostřel při úhlu 30° se stejnou rychlostí?

12

Vodorovný vrh z letadla

Zadání

Těleso je vypuštěno z letadla letícího vodorovně stálou rychlostí 150 m·s⁻¹ ve výšce 800 m. Neuvažujte odpor vzduchu a berte g = 10 m·s⁻². Zjistěte:

a) za jak dlouho těleso dopadne na zem

b) vodorovnou vzdálenost, kterou urazí těleso od opuštění letadla do dopadu na zem

13

Kruhová rychlost (1. kosmická rychlost)

1. kosmická rychlost je minimální rychlost potřebná pro oběžnou dráhu kolem Země. Všechny družice, včetně ISS, musí dosahovat této rychlosti! Je to základ kosmonautiky a satelitní navigace GPS.

Zadání

Vypočítejte kruhovou rychlost pro výšku h ≪ R_Z (např. 20 km).

Poznámka: 1. kosmická rychlost. 2. kosmická rychlost je pro opuštění gravitačního pole Země – těleso se stane oběžnicí kolem Slunce, je to √2·v_k.

Dáno: G = 6,674×10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², M_Z = 5,972×10²⁴ kg, R_Z = 6371 km, h = 20 km

Řešení

Rovnováha sil

Gravitační síla = Dostředivá síla:

📐 Rovnováha sil na oběžné dráze

F_g = F_d G·M_Z·m/r² = m·v_k²/r v_k = √(G·M_Z/r)

Vzdálenost od středu Země

📐 Poloměr oběžné dráhy

r = R_Z + h = 6371 + 20 = 6391 km = 6,391×10⁶ m

Výpočet kruhové rychlosti

📐 1. kosmická rychlost

v_k = √((6,674×10⁻¹¹)·(5,972×10²⁴)/(6,391×10⁶)) v_k = √(6,236×10⁷) ≈ 7897 m/s ≈ 7,9 km/s

Odpověď a kontext

Odpověď: Kruhová rychlost (1. kosmická) je 7,9 km/s ≈ 28 440 km/h.

💡 2. kosmická (úniková) rychlost: √2·v_k ≈ 11,2 km/s

Kontrola a odpověď

Odpověď: 1. kosmická rychlost (kruhová) ve výšce 20 km je $v_k \approx 7{,}9$ km/s ≈ 28 440 km/h

Ověření: $v_k = \sqrt{GM_Z/r} = \sqrt{6{,}674 \times 10^{-11} \cdot 5{,}972 \times 10^{24} / 6{,}391 \times 10^6} \approx 7897$ m/s ✓

Kontrola jednotek: $\sqrt{\frac{\text{N·m}^2/\text{kg}^2 \cdot \text{kg}}{\text{m}}} = \sqrt{\frac{\text{m}^3/\text{s}^2}{\text{m}}} = \sqrt{\text{m}^2/\text{s}^2} = \text{m/s}$ ✓

Kontext: 2. kosmická rychlost (úniková) = $\sqrt{2} \cdot v_k \approx 11{,}2$ km/s ✓

Proč se satelit při této rychlosti nespadne na Zemi?
Jak se mění kruhová rychlost s výškou?
Proč je 2. kosmická rychlost √2× větší než 1. kosmická?

14

Výška geostacionární družice

Geostacionární družice jsou klíčové pro televizní přenos, telekomunikace a meteorologii. Zůstávají stále nad stejným bodem na Zemi, což umožňuje zaměřit na ně pevné antény (např. satelitní talíře).

Zadání

Vypočítejte výšku geostacionární družice.

Dáno: G = 6,674×10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², M_Z = 5,972×10²⁴ kg, R_Z = 6378 km (rovníkový poloměr), T = 86 164 s (siderický den)

Řešení

Podmínka geostacionarity

Oběžná doba T musí být rovna době rotace Země (siderický den = 86 164 s).

Odvození vzorce

Z rovnosti gravitační a dostředivé síly:

📐 Keplerův zákon

G·M_Z/r² = ω²·r = (2π/T)²·r r³ = G·M_Z·T²/(4π²)

Výpočet poloměru dráhy

📐 Poloměr geostacionární dráhy

r = ∛((6,674×10⁻¹¹)·(5,972×10²⁴)·(86164)²/(4π²)) r = ∛(7,495×10²²) ≈ 4,216×10⁷ m ≈ 42 160 km

Výška nad povrchem

📐 Výška h

h = r - R_Z = 42 160 - 6378 ≈ 35 782 km ≈ 35 800 km

Odpověď: Geostacionární družice obíhá ve výšce ≈35 800 km nad rovníkem.

Kontrola a odpověď

Odpověď: Výška geostacionární družice je $h \approx 35\,800$ km nad povrchem Země (rovník)

Ověření: Poloměr dráhy $r = \sqrt[3]{GM_Z T^2/(4\pi^2)} \approx 4{,}216 \times 10^7$ m ✓

Výška: $h = r - R_Z \approx 42\,160 - 6\,378 = 35\,782$ km ✓

Kontrola podmínky: Oběžná doba $T = 86\,164$ s = 1 siderický den ✓

Fyzikální význam: Družice rotuje se stejnou rychlostí jako Země, zůstává nad stejným bodem ✓

Proč musí být geostacionární družice přesně nad rovníkem?
Kolik družic může být na geostacionární dráze?
Jaká je kruhová rychlost těchto družic?

Gravitační pole - Kompletní zadání a řešení

🌍 Newtonův gravitační zákon (1-2)

Zadání

Řešení

Analýza situace

Výběr fyzikální rovnice

Dosazení hodnot

Výpočet

Kontrola a odpověď

Zadání

Řešení

Analýza úměrnosti

Část a) Zdvojnásobení vzdálenosti

Část b) Zdvojnásobení hmotností

Kontrola a shrnutí

⚡ Intenzita a zrychlení (3-6)

Zadání

Řešení

Analýza situace

Výběr fyzikální rovnice

Dosazení a výpočet

Kontrola a odpověď

Zadání

Řešení

Analýza závislosti intenzity

Část a) Výška h = RZ

Část b) Výška h = 3RZ

Shrnutí

Kontrola a odpověď

Zadání

Řešení

Výběr fyzikální rovnice

Dosazení hodnot

Výpočet

Kontrola a odpověď

Zadání

Řešení

Výběr fyzikální rovnice

Dosazení a výpočet

Kontrola a odpověď

💫 Potenciál a energie (7-9)

Zadání

Řešení

Rychlost a výška v čase t = 2 s

Maximální výška a doba výstupu

Rychlost dopadu a konečná poloha

Grafy a jejich interpretace

Kontrola a odpověď

Zadání

Řešení

Část a) Volný pád (v₀ = 0)

Část b) Svislý vrh dolů (v₀ = 1 m/s)

Shrnutí

Kontrola a odpověď

Zadání

Řešení

Převod jednotek a analýza

Část a) Vzdálenost a doba

Část b) Počáteční energie

Část c) Celková mechanická energie

Kontrola a odpověď

📉 Pohyby v tíhovém poli (10-11)

Zadání

Řešení

Doba letu

Vzdálenost dopadu

Rychlost dopadu

Úhel dopadu

Kontrola a odpověď

Zadání

Řešení

Vzorec pro dostřel

Zjednodušení pro α = 45°

Výpočet rychlosti

Odpověď

Kontrola a odpověď

🛰️ Umělé družice a planety (12-14)

Zadání

Řešení

Část a) Doba dopadu

Část a) Výška h = R_Z

Část b) Výška h = 3R_Z