14. Výška geostacionární družice
Gravitační pole - řešený příklad
💡 Praktická aplikace: Geostacionární družice jsou klíčové pro televizní přenos, telekomunikace a meteorologii. Zůstávají stále nad stejným bodem na Zemi, což umožňuje zaměřit na ně pevné antény (např. satelitní talíře).
Zadání úlohy
Vypočítejte výšku geostacionární družice.
Dáno: G = 6,674×10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², MZ = 5,972×10²⁴ kg, RZ = 6378 km (rovníkový poloměr), T = 86 164 s (siderický den)
Dáno: G = 6,674×10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², MZ = 5,972×10²⁴ kg, RZ = 6378 km (rovníkový poloměr), T = 86 164 s (siderický den)
Postup řešení
1. Podmínka geostacionarity
Oběžná doba T musí být rovna době rotace Země (siderický den = 86 164 s).
2. Odvození vzorce
Z rovnosti gravitační a dostředivé síly:
📐 Keplerův zákon
$$\begin{align}
\frac{G \cdot M_Z}{r^2} &= \omega^2 \cdot r = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \cdot r \\
r^3 &= \frac{G \cdot M_Z \cdot T^2}{4\pi^2}
\end{align}$$
3. Výpočet poloměru dráhy
📐 Poloměr geostacionární dráhy
$$\begin{align}
r &= \sqrt[3]{\frac{(6{,}674 \times 10^{-11}) \cdot (5{,}972 \times 10^{24}) \cdot (86164)^2}{4\pi^2}} \\
r &= \sqrt[3]{7{,}495 \times 10^{22}} \approx 4{,}216 \times 10^7 \text{ m} \approx 42\,160 \text{ km}
\end{align}$$
4. Výška nad povrchem
📐 Výška h
$$h = r - R_Z = 42\,160 - 6\,378 \approx 35\,782 \text{ km} \approx 35\,800 \text{ km}$$
Odpověď: Geostacionární družice obíhá ve výšce ≈35 800 km nad rovníkem.
Shrnutí a kontrola
Hlavní poznatky:
- Geostacionární družice musí mít oběžnou dobu = doba rotace Země (1 siderický den)
- Výška geostacionární dráhy je přesně určena: ≈35 800 km
- Družice musí být nad rovníkem pro stálou pozici
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
- Proč musí být geostacionární družice přesně nad rovníkem?
- Kolik družic může být na geostacionární dráze?
- Jaká je kruhová rychlost těchto družic?