13. Kruhová rychlost (1. kosmická rychlost)

Gravitační pole - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: 1. kosmická rychlost je minimální rychlost potřebná pro oběžnou dráhu kolem Země. Všechny družice, včetně ISS, musí dosahovat této rychlosti! Je to základ kosmonautiky a satelitní navigace GPS.

Zadání úlohy

Vypočítejte kruhovou rychlost pro výšku h ≪ R_Z (např. 20 km).
Poznámka: 1. kosmická rychlost. 2. kosmická rychlost je pro opuštění gravitačního pole Země – těleso se stane oběžnicí kolem Slunce, je to √2·v_k.
Dáno: G = 6,674×10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², M_Z = 5,972×10²⁴ kg, R_Z = 6371 km, h = 20 km

Postup řešení

1. Rovnováha sil

Gravitační síla = Dostředivá síla:

📐 Rovnováha sil na oběžné dráze

$$\begin{align} F_g &= F_d \\ \frac{G \cdot M_Z \cdot m}{r^2} &= \frac{m \cdot v_k^2}{r} \\ v_k &= \sqrt{\frac{G \cdot M_Z}{r}} \end{align}$$

2. Vzdálenost od středu Země

📐 Poloměr oběžné dráhy

$$r = R_Z + h = 6371 + 20 = 6391 \text{ km} = 6{,}391 \times 10^6 \text{ m}$$

3. Výpočet kruhové rychlosti

📐 1. kosmická rychlost

$$\begin{align} v_k &= \sqrt{\frac{(6{,}674 \times 10^{-11}) \cdot (5{,}972 \times 10^{24})}{6{,}391 \times 10^6}} \\ v_k &= \sqrt{6{,}236 \times 10^7} \approx 7897 \text{ m/s} \approx 7{,}9 \text{ km/s} \end{align}$$

4. Odpověď a kontext

Odpověď: Kruhová rychlost (1. kosmická) je 7,9 km/s ≈ 28 440 km/h.

💡 2. kosmická (úniková) rychlost: √2·v_k ≈ 11,2 km/s

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:

1. kosmická rychlost = minimální rychlost pro oběžnou dráhu
Gravitační síla poskytuje dostředivou sílu pro kruhový pohyb
2. kosmická rychlost (úniková) = √2 × 1. kosmická ≈ 11,2 km/s

Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.

🤔 Metakognitivní otázky

Proč se satelit při této rychlosti nespadne na Zemi?
Jak se mění kruhová rychlost s výškou?
Proč je 2. kosmická rychlost √2× větší než 1. kosmická?