11. Šikmý vrh fotbalového míče
Gravitační pole - řešený příklad
💡 Praktická aplikace: Šikmý vrh je klíčový pro všechny míčové sporty! Hráči intuitivně znají optimální úhel výkopu (45°) pro maximální vzdálenost.
Zadání úlohy
Fotbalista kopl míč pod úhlem 45°. Balón dopadne na zem ve vzdálenosti 40 m od místa výkopu. Jak velkou rychlost fotbalista udělil míči?
Použijte: g = 9,81 m·s⁻²
Použijte: g = 9,81 m·s⁻²
Postup řešení
1. Vzorec pro dostřel
Pro šikmý vrh platí vzorec pro vzdálenost:
📐 Dostřel šikmého vrhu
$$d = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2\alpha)}{g}$$
2. Zjednodušení pro α = 45°
📐 Speciální případ
$$\begin{align}
\sin(2 \cdot 45°) &= \sin(90°) = 1 \\
\\
d &= \frac{v_0^2}{g}
\end{align}$$
⚠️ Tip: Úhel 45° dává maximální dostřel! Proto se sin(90°) = 1 a vzorec se zjednodušuje.
3. Výpočet rychlosti
📐 Vyjádření v₀
$$\begin{align}
v_0^2 &= d \cdot g = 40 \cdot 9{,}81 = 392{,}4 \\
v_0 &= \sqrt{392{,}4} \approx 19{,}8 \text{ m/s} \approx 71 \text{ km/h}
\end{align}$$
4. Kontrola a odpověď
Odpověď: Počáteční rychlost míče byla v₀ ≈ 19,8 m/s (≈ 71 km/h)
Ověření: d = v₀²/g = 19,8²/9,81 = 392,04/9,81 ≈ 40 m ✓
Speciální vlastnost úhlu 45°: Maximální dostřel při dané počáteční rychlosti ✓
Shrnutí a kontrola
Hlavní poznatky:
- Úhel 45° dává maximální dostřel při šikmém vrhu
- Pro α = 45° platí: d = v₀²/g (zjednodušený vzorec)
- Při úhlu 45° je sin(2α) = sin(90°) = 1
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
- Proč úhel 45° dává maximální dostřel?
- Do jaké maximální výšky by míč vyletěl?
- Jak by se změnil dostřel při úhlu 30° se stejnou rychlostí?