8. Volný pád a svislý vrh z helikoptéry
Gravitační pole - řešený příklad
💡 Praktická aplikace: Pochopení volného pádu a svislého vrhu je klíčové pro bezpečnost v letectví, skoky padákem, i shazování zásob z helikoptér v záchranných operacích!
Zadání úlohy
Těleso je vyhozeno z helikoptéry ve výšce 55 m od povrchu Země.
a) Jakou dobu bude padat a jakou rychlostí dopadne, je-li helikoptéra v okamžiku vyhození tělesa v klidu?
b) Jakou dobu bude padat a jakou rychlostí dopadne, klesá-li helikoptéra v okamžiku vyhození tělesa rychlostí 1 m·s⁻¹?
Dosazujte g = 9,81 m·s⁻². Výsledek uveďte s přesností na dvě desetinná místa.
a) Jakou dobu bude padat a jakou rychlostí dopadne, je-li helikoptéra v okamžiku vyhození tělesa v klidu?
b) Jakou dobu bude padat a jakou rychlostí dopadne, klesá-li helikoptéra v okamžiku vyhození tělesa rychlostí 1 m·s⁻¹?
Dosazujte g = 9,81 m·s⁻². Výsledek uveďte s přesností na dvě desetinná místa.
Postup řešení
1. Část a) Volný pád (v₀ = 0)
📐 Volný pád
$$\begin{align}
t &= \sqrt{\frac{2y}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 55}{9{,}81}} = \sqrt{11{,}213} \approx 3{,}35 \text{ s} \\
v &= g \cdot t = 9{,}81 \cdot 3{,}35 \approx 32{,}85 \text{ m/s}
\end{align}$$
2. Část b) Svislý vrh dolů (v₀ = 1 m/s)
Kvadratická rovnice: y = v₀·t + ½g·t²
📐 Řešení kvadratické rovnice
$$\begin{align}
55 &= 1 \cdot t + 4{,}905 \cdot t^2 \\
4{,}905t^2 + t - 55 &= 0 \\
\\
t &= \frac{-1 + \sqrt{1 + 1079{,}1}}{9{,}81} \approx 3{,}25 \text{ s} \\
v &= v_0 + g \cdot t = 1 + 9{,}81 \cdot 3{,}25 \approx 32{,}87 \text{ m/s}
\end{align}$$
3. Shrnutí
Počáteční rychlost dolů zkrátila dobu pádu o 0,1 s a zvýšila rychlost dopadu minimálně (+ 0,02 m/s).
4. Kontrola a odpověď
Odpověď:
- a) Volný pád (v₀=0): doba pádu t ≈ 3,35 s, rychlost dopadu v ≈ 32,85 m/s
- b) Svislý vrh dolů (v₀=1 m/s): doba pádu t ≈ 3,25 s, rychlost dopadu v ≈ 32,87 m/s
Ověření: Počáteční rychlost 1 m/s zkrátila dobu o 3,35 - 3,25 = 0,1 s ✓
Konečné rychlosti se liší minimálně: 32,87 - 32,85 = 0,02 m/s ✓
Shrnutí a kontrola
Hlavní poznatky:
- Volný pád: počáteční rychlost v₀ = 0
- Svislý vrh dolů: počáteční rychlost v₀ > 0
- Malá počáteční rychlost má relativně malý vliv na konečnou rychlost
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
- Proč je vliv počáteční rychlosti 1 m/s na konečnou rychlost tak malý?
- Jaký by byl rozdíl, kdyby helikoptéra stoupala rychlostí 1 m/s?