7. Svislý vrh vzhůru
Gravitační pole - řešený příklad
💡 Praktická aplikace: Svislý vrh popisuje pohyb rakety, míčů, střel i kamenů vyhozených vzhůru. Sportovní trenéři, kaskadéři a konstruktéři fontán využívají tyto výpočty každý den!
Zadání úlohy
Těleso se pohybuje svisle nahoru rychlostí 40 m·s⁻¹. Vypočítejte rychlost a vzdálenost v čase 2 sekundy od začátku pohybu. Určete maximální výšku a dobu výstupu. Vypočítejte rychlost dopadu a vzdálenost, do které dopadne na zem. Narýsujte grafy závislosti rychlosti na čase a okamžité rychlosti na čase, najděte rozdíly a diskutujte o nich.
Použijte: g ≈ 10 m·s⁻²
Použijte: g ≈ 10 m·s⁻²
Postup řešení
1. Rychlost a výška v čase t = 2 s
📐 Kinematické rovnice
$$\begin{align}
v(t) &= v_0 - g \cdot t = 40 - 10 \cdot 2 = 20 \text{ m/s} \\
y(t) &= v_0 \cdot t - \frac{1}{2}g \cdot t^2 = 40 \cdot 2 - 5 \cdot 4 = 80 - 20 = 60 \text{ m}
\end{align}$$
2. Maximální výška a doba výstupu
V nejvyšším bodě je rychlost v = 0:
📐 Vrchol trajektorie
$$\begin{align}
t_\text{výstupu} &= \frac{v_0}{g} = \frac{40}{10} = 4 \text{ s} \\
y_\text{max} &= v_0 \cdot t - \frac{1}{2}g \cdot t^2 = 40 \cdot 4 - 5 \cdot 16 = 160 - 80 = 80 \text{ m}
\end{align}$$
3. Rychlost dopadu a konečná poloha
Pohyb je symetrický - doba sestupu = doba výstupu:
📐 Dopad
Celková doba letu: 8 s
$$v(8) = 40 - 10 \cdot 8 = -40 \text{ m/s}$$
(velikost 40 m/s, směr dolů)
Konečná poloha: 0 m (návrat na místo startu)
$$v(8) = 40 - 10 \cdot 8 = -40 \text{ m/s}$$
(velikost 40 m/s, směr dolů)
Konečná poloha: 0 m (návrat na místo startu)
4. Grafy a jejich interpretace
Graf v(t): Přímka klesající z 40 m/s přes 0 (t=4s) do -40 m/s (t=8s)
Graf |v(t)|: Tvar "V" - klesá z 40 do 0, pak roste zpět na 40
⚠️ Pozor na častou chybu: Rychlost v(t) je vektor (může být záporná), velikost rychlosti |v(t)| je vždy nezáporná.
5. Kontrola a odpověď
Odpověď:
- V čase t=2s: rychlost v = 20 m/s, výška y = 60 m
- Maximální výška: ymax = 80 m, doba výstupu t = 4 s
- Rychlost dopadu: |v| = 40 m/s (směr dolů), celková doba letu: 8 s
- Konečná poloha: 0 m (návrat na místo startu)
Ověření symetrie: Doba výstupu = doba sestupu = 4 s ✓
Ověření energie: Počáteční a konečná rychlost mají stejnou velikost (40 m/s) ✓
Shrnutí a kontrola
Hlavní poznatky:
- Svislý vrh je symetrický pohyb - doba výstupu = doba sestupu
- V nejvyšším bodě je rychlost nulová
- Velikost rychlosti dopadu = počáteční rychlost (zákon zachování energie)
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
- Proč je pohyb symetrický?
- Co by se stalo s maximální výškou, kdyby byla počáteční rychlost 2× větší?
- Proč je rychlost dopadu stejná jako počáteční rychlost (velikostí)?