4. Intenzita ve výšce nad Zemí

Gravitační pole - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Pochopení, jak se mění intenzita gravitačního pole s výškou, je klíčové pro výpočty drah satelitů a kosmických lodí. Intenzita gravitačního pole ovlivňuje množství paliva potřebného pro vzlet rakety a umístění komunikačních satelitů!

Zadání úlohy

Hodnota K na zemském povrchu je kolem 10 N·kg⁻¹. Stanovte hodnotu intenzity ve výšce h nad povrchem Země, jestliže:
a) h = RZ (poloměr Země)
b) h = 3RZ

Postup řešení

1. Analýza závislosti intenzity

Intenzita klesá s druhou mocninou vzdálenosti od středu Země: K ∝ 1/r²

⚠️ Pozor na častou chybu: Vzdálenost r se počítá od STŘEDU Země, ne od povrchu. Při výšce h je celková vzdálenost r = RZ + h!

2. Část a) Výška h = RZ

📐 Výpočet pro h = RZ
$$\begin{align} r_2 &= R_Z + h = R_Z + R_Z = 2R_Z \\ K_2 &= K_1 \cdot \left(\frac{R_Z}{r_2}\right)^2 = 10 \cdot \left(\frac{R_Z}{2R_Z}\right)^2 \\ &= 10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{10}{4} = 2{,}5 \text{ N/kg} \end{align}$$

Odpověď a): Ve výšce RZ je intenzita 2,5 N/kg.

3. Část b) Výška h = 3RZ

📐 Výpočet pro h = 3RZ
$$\begin{align} r_3 &= R_Z + 3R_Z = 4R_Z \\ K_3 &= K_1 \cdot \left(\frac{R_Z}{r_3}\right)^2 = 10 \cdot \left(\frac{R_Z}{4R_Z}\right)^2 \\ &= 10 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{10}{16} = 0{,}625 \text{ N/kg} \end{align}$$

Odpověď b): Ve výšce 3RZ je intenzita 0,625 N/kg.

4. Shrnutí

Intenzita klesá velmi rychle s výškou:

  • Na povrchu (h=0): K = 10 N/kg
  • Ve výšce RZ: K = 2,5 N/kg (4× menší)
  • Ve výšce 3RZ: K = 0,625 N/kg (16× menší)

5. Kontrola a odpověď

Odpověď:

  • a) Ve výšce RZ nad povrchem: K = 2,5 N/kg
  • b) Ve výšce 3RZ nad povrchem: K = 0,625 N/kg

Ověření: Při zdvojnásobení vzdálenosti od středu (2RZ) je intenzita 4× menší: 10/4 = 2,5 ✓

Při zčtyřnásobení vzdálenosti (4RZ) je intenzita 16× menší: 10/16 = 0,625 ✓

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Intenzita klesá se čtvercem vzdálenosti od středu Země
  • Vzdálenost se počítá od středu Země: r = RZ + h
  • Zdvojnásobení vzdálenosti znamená čtyřnásobný pokles intenzity
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Ve které výšce bude intenzita 9× menší než na povrchu?
  • Proč astronauti na ISS (h ≈ 400 km) pociťují téměř stejnou gravitaci jako na Zemi?