2. Závislost síly na vzdálenosti
Gravitační pole - řešený příklad
💡 Praktická aplikace: Pochopení závislosti síly na vzdálenosti (1/r²) je klíčové pro návrh družicových drah, plánování kosmických misí a pochopení stability planetárních systémů. Inženýři ESA a NASA s tím pracují každý den!
Zadání úlohy
Gravitační síla mezi dvěma tělesy je 2×10⁵ N. Jaká bude síla mezi tělesy:
a) když se jejich vzdálenost zdvojnásobí?
b) když bude hmotnost obou těles dvojnásobná?
a) když se jejich vzdálenost zdvojnásobí?
b) když bude hmotnost obou těles dvojnásobná?
Postup řešení
1. Analýza úměrnosti
Newtonův gravitační zákon říká, že gravitační síla závisí na:
- Přímo úměrně na součinu hmotností: $F \propto m_1 \cdot m_2$
- Nepřímo úměrně na druhé mocnině vzdálenosti: $F \propto \frac{1}{r^2}$
⚠️ Pozor na častou chybu: Síla klesá s druhou mocninou vzdálenosti, ne lineárně. Zdvojnásobení vzdálenosti → síla klesne 4× (ne 2×)!
2. Část a) Zdvojnásobení vzdálenosti
Když $r_2 = 2r_1$, síla se změní podle poměru:
📐 Změna vzdálenosti
$$\begin{align}
\frac{F_2}{F_1} &= \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{r_1}{2r_1}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \\
\\
F_2 &= \frac{F_1}{4} = \frac{2 \times 10^5 \text{ N}}{4} = 5 \times 10^4 \text{ N}
\end{align}$$
Odpověď a): Síla klesne 4krát na hodnotu $5 \times 10^4$ N.
3. Část b) Zdvojnásobení hmotností
Když $m_1' = 2m_1$ a $m_2' = 2m_2$, síla se změní:
📐 Změna hmotností
$$\begin{align}
\frac{F_3}{F_1} &= \frac{m_1' \cdot m_2'}{m_1 \cdot m_2} = \frac{(2m_1) \cdot (2m_2)}{m_1 \cdot m_2} = 4 \\
\\
F_3 &= 4 \cdot F_1 = 4 \cdot (2 \times 10^5 \text{ N}) = 8 \times 10^5 \text{ N}
\end{align}$$
Odpověď b): Síla vzroste 4krát na hodnotu $8 \times 10^5$ N.
4. Kontrola a shrnutí
Shrnutí závislostí:
- Vzdálenost 2× větší → síla 4× menší (1/r²)
- Obě hmotnosti 2× větší → síla 4× větší (m₁ × m₂)
Shrnutí a kontrola
Hlavní poznatky:
- Gravitační síla závisí nepřímo úměrně na r²
- Gravitační síla závisí přímo úměrně na součinu hmotností
- Porozuměli jsme kvadratické závislosti na vzdálenosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
- Co se stane se silou, když vzdálenost ztrojnásobíme?
- Proč je závislost na r² a ne na r³?
- Jak by se změnila síla, kdyby se zdvojnásobila jen jedna hmotnost?