Průvodce Gravitačním polem
Pojďme společně odhalit tajemství gravitace a pohybu těles v kosmu!
Co je gravitační pole a proč ho studujeme?
Představte si, že sledujete jablko padající ze stromu, planety obíhající kolem Slunce nebo družice kroužící kolem Země. Všechna tato tělesa mají něco společného - jsou ovlivněna gravitační silou!
Gravitační pole je prostor kolem tělesa, ve kterém působí gravitační síla na jiná tělesa. Studium gravitace nám pomáhá pochopit pohyb planet, fungování vesmíru i běžné jevy na Zemi.
📐 Newtonův gravitační zákon
🔴 1. Zákon univerzální gravitace
Definice: Každá dvě tělesa se navzájem přitahují silou (\(F_g\)), která je přímo úměrná součinu jejich hmotností (\(m_1\), \(m_2\)) a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti (\(r\)).
kde \(\kappa = 6,674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2\text{·kg}^{-2}\) je gravitační konstanta
📊 2. Význam veličin
- \(F_g\) - gravitační síla v Newtonech (N)
- \(m_1, m_2\) - hmotnosti obou těles v kilogramech (kg)
- \(r\) - vzdálenost mezi středy těles v metrech (m)
- \(\kappa\) (kappa) - gravitační konstanta
💡 3. Příklad: Gravitační síla Země-Měsíc
Zadání: Jaká gravitační síla působí mezi Zemí a Měsícem?
Dáno:
- \(m_Z = 5,972 \times 10^{24}\) kg (hmotnost Země)
- \(m_M = 7,342 \times 10^{22}\) kg (hmotnost Měsíce)
- \(r = 3,844 \times 10^8\) m (vzdálenost Země-Měsíc)
- \(\kappa = 6,674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2\text{·kg}^{-2}\)
Řešení:
\[F_g = 6,674 \times 10^{-11} \cdot \frac{5,972 \times 10^{24} \cdot 7,342 \times 10^{22}}{(3,844 \times 10^8)^2} \approx 1,98 \times 10^{20} \text{ N}\]Odpověď: Gravitační síla mezi Zemí a Měsícem je přibližně \(1,98 \times 10^{20}\) N.
🔢 4. Příklad: Závislost síly na vzdálenosti
Zadání: Gravitační síla mezi dvěma tělesy je \(2 \times 10^5\) N. Jaká bude síla:
a) když se vzdálenost zdvojnásobí?
b) když bude hmotnost obou těles dvojnásobná?
Řešení a): Při zdvojnásobení vzdálenosti:
\[F_2 = \kappa \frac{m_1 m_2}{(2r_1)^2} = \frac{1}{4} \cdot F_1 = \frac{1}{4} \cdot 2 \times 10^5 = 5 \times 10^4 \text{ N}\]Odpověď a): Síla klesne 4× na \(5 \times 10^4\) N.
Řešení b): Při zdvojnásobení obou hmotností:
\[F_3 = \kappa \frac{(2m_1)(2m_2)}{r^2} = 4 \cdot F_1 = 8 \times 10^5 \text{ N}\]Odpověď b): Síla vzroste 4× na \(8 \times 10^5\) N.
⚡ Intenzita gravitačního pole
🔴 1. Definice intenzity
Intenzita gravitačního pole (\(\vec{K}\)) je vektorová veličina definovaná jako podíl gravitační síly (\(\vec{F_g}\)), jež v daném místě působí na těleso, a hmotnosti (\(m\)) tohoto tělesa.
Jednotka: N/kg (nebo m/s²)
📊 2. Intenzita pole vytvořeného planetou
Pro těleso o hmotnosti \(M\) (např. planeta) je intenzita pole ve vzdálenosti \(r\) od jeho středu:
Intenzita udává, jaká síla působí na 1 kg hmoty v daném bodě.
💡 3. Příklad: Intenzita na povrchu Měsíce
Zadání: Na astronauta o hmotnosti 75 kg působí na Měsíci síla 126 N. Vypočítejte hodnotu intenzity na povrchu Měsíce.
Dáno: \(m = 75\) kg, \(F_g = 126\) N
Řešení:
\[K = \frac{F_g}{m} = \frac{126}{75} = 1,68 \text{ N/kg}\]Odpověď: Intenzita gravitačního pole na Měsíci je 1,68 N/kg (na Zemi je to 9,81 N/kg).
🔢 4. Příklad: Intenzita ve výšce nad Zemí
Zadání: Hodnota \(K\) na zemském povrchu je 10 N/kg. Stanovte hodnotu intenzity ve výšce \(h\) nad povrchem, jestliže:
a) \(h = R_Z\) (poloměr Země)
b) \(h = 3R_Z\)
Řešení a): Vzdálenost od středu: \(r = R_Z + h = 2R_Z\)
Vzdálenost se zdvojnásobila, intenzita klesne 4×:
\[K_2 = \frac{K_1}{4} = \frac{10}{4} = 2,5 \text{ N/kg}\]Řešení b): Vzdálenost od středu: \(r = R_Z + 3R_Z = 4R_Z\)
Vzdálenost se zčtyřnásobila, intenzita klesne 16×:
\[K_3 = \frac{K_1}{16} = \frac{10}{16} = 0,625 \text{ N/kg}\]🚀 Gravitační zrychlení
🔴 1. Gravitační zrychlení
Gravitační zrychlení (\(a_g\)) je zrychlení, které tělesu udílí gravitační síla. Je číselně rovno intenzitě gravitačního pole.
Pro povrch Země: \(a_g \approx 9,81 \text{ m/s}^2\)
📊 2. Gravitační zrychlení různých planet
🌍 Země
\(g = 9,81 \text{ m/s}^2\)
🌙 Měsíc
\(g = 1,62 \text{ m/s}^2\) (≈ 1/6 Země)
♂️ Mars
\(g = 3,71 \text{ m/s}^2\) (≈ 1/3 Země)
♃ Jupiter
\(g = 24,79 \text{ m/s}^2\) (≈ 2,5× Země)
⚖️ Gravitační a tíhová síla (rozdíl)
🌌 Gravitační síla (\(\vec{F_g}\))
Čistá přitažlivá síla mezi dvěma tělesy podle Newtonova gravitačního zákona.
Nezahrnuje vliv rotace Země
⚖️ Tíhová síla (\(\vec{F_t}\))
Výslednice gravitační síly a odstředivé síly způsobené rotací Země.
Síla měřená váhou nebo siloměrem
🌍 Důsledky rotace Země
Země se otáčí kolem své osy (1 otočka za 24 hodin). Tato rotace způsobuje odstředivou sílu, která:
- Na rovníku: je maximální → tíhové zrychlení \(g \approx 9,78 \text{ m/s}^2\)
- Na pólech: je nulová → tíhové zrychlení \(g \approx 9,83 \text{ m/s}^2\)
- Rozdíl: přibližně 0,5% (zdánlivě malý, ale významný pro přesná měření)
Proto: Těleso na rovníku je "lehčí" než na pólech!
💡 Příklad: Rozdíl hmotnosti na rovníku a pólech
Zadání: Jakou tíhovou sílu působí Země na těleso o hmotnosti 100 kg na rovníku a na pólu?
Řešení:
Na pólu: \(F_{t,pól} = m \cdot g_{pól} = 100 \cdot 9,83 = 983 \text{ N}\)
Na rovníku: \(F_{t,rov} = m \cdot g_{rov} = 100 \cdot 9,78 = 978 \text{ N}\)
Rozdíl: \(\Delta F = 983 - 978 = 5 \text{ N}\)
Odpověď: Těleso je na rovníku o 5 N "lehčí" než na pólu. To odpovídá rozdílu asi půl kilogramu!
🛰️ Umělé družice a kosmické rychlosti
🔴 1. První kosmická rychlost
První kosmická rychlost (\(v_1\)) je minimální rychlost, kterou musí mít těleso na povrchu planety, aby se mohlo pohybovat po kruhové dráze těsně nad povrchem.
Pro Zemi: \(v_1 \approx 7,9 \text{ km/s}\)
🚀 2. Druhá kosmická rychlost
Druhá kosmická rychlost (\(v_2\)) je minimální rychlost potřebná k opuštění gravitačního pole planety (úniková rychlost).
Pro Zemi: \(v_2 \approx 11,2 \text{ km/s}\)
🌌 3. Třetí kosmická rychlost
Třetí kosmická rychlost (\(v_3\)) je rychlost potřebná k opuštění sluneční soustavy z povrchu Země.
Pro Zemi: \(v_3 \approx 16,7 \text{ km/s}\)
🪐 Keplerovy zákony
🔴 1. Keplerův zákon (zákon elips)
Planety se pohybují po elipsách, v jejichž jednom společném ohnisku je Slunce.
📊 2. Keplerův zákon (zákon ploch)
Obsahy ploch opsaných průvodičem planety za stejné časy jsou stejné. To znamená, že planeta se pohybuje rychleji, když je blíže Slunci.
⏱️ 3. Keplerův zákon (zákon period)
Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin velkých poloos jejich drah.
kde \(T\) je oběžná doba a \(a\) je velká poloosa dráhy
🧮 Interaktivní kalkulátory
Praktické nástroje pro rychlé výpočty gravitačních úloh