Mechanická práce, výkon a energie - Zadání a řešení (1-6)

1

Práce a výkon stálé síly

GPS navigace v autech počítá předpokládané časy příjezdu na základě výkonu a práce motoru. Dispečeři dopravních firem plánují trasy podle spotřeby paliva, která přímo souvisí s prací vykonanou motorem. Bez těchto výpočtů by moderní doprava a logistika nemohly efektivně fungovat!

Zadání

Na těleso, jež bylo na počátku v klidu, působí výsledná síla 80 N po dobu 5 s. Předpokládejte, že hmotnost tělesa je 2 kg a vypočtěte:

a) práci, kterou síla vykoná
b) její průměrný výkon
c) okamžitý výkon v 5 s od začátku pohybu
d) porovnejte b) a c), diskutujte případný rozdíl výsledků

Řešení

Analýza situace a převody jednotek

Dané hodnoty:

Síla: $$F = 80 \text{ N}$$
Čas: $$t = 5 \text{ s}$$
Hmotnost: $$m = 2 \text{ kg}$$
Počáteční rychlost: $$v_0 = 0 \text{ m/s}$$ (těleso bylo v klidu)

Těleso se pohybuje s konstantním zrychlením - rovnoměrně zrychlený pohyb.

Pamatuj: Pro výpočet práce potřebujeme znát dráhu, kterou musíme nejdřív vypočítat přes zrychlení!

Výběr fyzikálních rovnic

Budeme potřebovat:

📐 Druhý Newtonův zákon

$$a = \frac{F}{m}$$

📐 Dráha při rovnoměrně zrychleném pohybu

$$s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$$ (protože $$v_0 = 0$$)

📐 Práce a výkon

$$W = F \cdot s$$ $$\bar{P} = \frac{W}{t}$$ $$P = F \cdot v$$

Algebraické vyjádření

Nejdříve vypočítáme zrychlení:

$$a = \frac{80}{2} = 40 \text{ m/s}^2$$

Pak dráhu:

$$s = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 5^2 = 20 \cdot 25 = 500 \text{ m}$$

Dosazení a výpočet

a) Práce:

$$W = F \cdot s = 80 \cdot 500 = 40\,000 \text{ J} = 40 \text{ kJ}$$

b) Průměrný výkon:

$$\bar{P} = \frac{W}{t} = \frac{40\,000}{5} = 8\,000 \text{ W} = 8 \text{ kW}$$

c) Okamžitý výkon v t=5s:

Nejdříve konečná rychlost: $$v = v_0 + at = 0 + 40 \cdot 5 = 200 \text{ m/s}$$

$$P = F \cdot v = 80 \cdot 200 = 16\,000 \text{ W} = 16 \text{ kW}$$

d) Porovnání:

Okamžitý výkon (16 kW) je přesně dvojnásobný oproti průměrnému (8 kW).

Kontrola a odpověď

Odpovědi:

a) Práce: W = 40 kJ
b) Průměrný výkon: P̄ = 8 kW
c) Okamžitý výkon: P = 16 kW
d) Okamžitý výkon je 2× větší

Vysvětlení rozdílu: Výkon roste lineárně s rychlostí (P = F·v). Protože rychlost roste od 0 do 200 m/s, výkon roste od 0 do 16 kW. Průměrná hodnota lineárního růstu je polovina maxima: (0 + 16)/2 = 8 kW.

Co by se stalo s výkonem, kdyby síla působila pouze polovinu času?
Proč je okamžitý výkon na konci větší než průměrný?
Jak souvisí graf v-t s rozdílem mezi průměrným a okamžitým výkonem?
V jakých reálných situacích je důležitý okamžitý vs. průměrný výkon?

2

Odraz míče z výšky

Výrobci sportovního vybavení testují míče podle toho, jak dobře se odrážejí. Basketbalové, tenisové i volejbalové míče musí splňovat přesné standardy odrazovosti. Podobně fungují bezpečnostní nárazníky aut - část energie srážky se přemění na deformaci materiálu, aby chránila posádku!

Zadání

Pružný míč o hmotnosti 50 g byl volně puštěn z výšky 1,55 m nad upevněnou vodorovnou kovovou deskou. Po odrazu vyskočil do výšky 1,00 m nad deskou. Vypočtěte (g = 10 m·s⁻²):

a) rychlost míče těsně před dopadem
b) hybnost míče těsně před dopadem
c) kinetickou energii míče těsně před dopadem
d) změnu energie při dopadu. Zdůvodněte.

Řešení

Analýza situace a převody jednotek

Dané hodnoty:

Hmotnost: $$m = 50 \text{ g} = 0{,}05 \text{ kg}$$
Počáteční výška: $$h_1 = 1{,}55 \text{ m}$$
Výška po odrazu: $$h_2 = 1{,}00 \text{ m}$$
Tíhové zrychlení: $$g = 10 \text{ m/s}^2$$

Nezapomeň převést gramy na kilogramy! 50 g = 0,05 kg

Výběr fyzikální rovnice

Použijeme zákon zachování mechanické energie:

📐 Zákon zachování energie

$$E_p = E_k$$ $$mgh = \frac{1}{2}mv^2$$

📐 Hybnost

$$p = mv$$

Algebraické vyjádření

Z rovnice $$mgh_1 = \frac{1}{2}mv_1^2$$ zkrátíme hmotnost a vyjádříme rychlost:

$$v_1 = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 1{,}55} = \sqrt{31} \approx 5{,}57 \text{ m/s}$$

Dosazení a výpočet

a) Rychlost před dopadem:

$$v_1 = 5{,}57 \text{ m/s}$$

b) Hybnost před dopadem:

$$p_1 = mv_1 = 0{,}05 \cdot 5{,}57 = 0{,}28 \text{ kg·m/s}$$

c) Kinetická energie před dopadem:

$$E_{k1} = E_{p1} = mgh_1 = 0{,}05 \cdot 10 \cdot 1{,}55 = 0{,}775 \text{ J}$$

d) Změna energie:

Energie po odrazu: $$E_2 = mgh_2 = 0{,}05 \cdot 10 \cdot 1{,}00 = 0{,}5 \text{ J}$$

$$\Delta E = E_1 - E_2 = 0{,}775 - 0{,}5 = 0{,}275 \text{ J}$$

Kontrola a odpověď

Odpovědi:

a) $$v_1 \approx 5{,}57 \text{ m/s}$$
b) $$p_1 \approx 0{,}28 \text{ kg·m/s}$$
c) $$E_{k1} = 0{,}775 \text{ J}$$
d) $$\Delta E = 0{,}275 \text{ J}$$ ztraceno

Zdůvodnění: Srážka nebyla dokonale pružná. Ztracená energie (0,275 J) se přeměnila na teplo (zahřátí míče a desky) a zvuk (slyšeli jsme "bouchnutí"). Energie se nezachovala v mechanické formě, ale celková energie včetně tepla a zvuku se zachovala.

Proč míč nevyskočil do stejné výšky, ze které byl puštěn?
Co by se stalo, kdyby byl míč dokonale pružný?
Jak byste změřili, kolik energie se přeměnilo na teplo?
Proč některé míče (basketbal) odrážejí lépe než jiné (tenisák)?

3

Vozíčky na nakloněné rovině

Ve skladech a distribučních centrech se denně pohybují tisíce vozíků s nákladem. Pochopení přeměny energií a srážek je klíčové pro bezpečnost - projektanti musí navrhovat brzdné systémy a ochranné bariéry. Podobné principy se využívají v dopravních systémech, horských drahách a všude, kde se pohybují vozidla!

Zadání

Vozíček A o hmotnosti 4 kg s lehkými kolečky je udržován na hladké nakloněné rovině. Po uvolnění bez tření sjede po nakloněné rovině tak, že jeho hmotný střed je na vodorovné rovině o 3,45 m níže než na počátku a narazí do druhého podobného vozíčku B o hmotnosti 2,5 kg, který stál na vodorovné rovině. Po srážce se oba vozíčky pohybují jako jedno těleso. (g = 10 m·s⁻²)

a) Vypočtěte rychlost vozíčku A bezprostředně před srážkou
b) Vypočítejte rychlost obou vozíčků po srážce s využitím zákona zachování hybnosti
c) Vypočtěte kinetickou energii vozíčku A těsně před srážkou a kinetickou energii obou vozíčků po srážce
d) Vysvětlete, proč je kinetická energie před a po srážce různá

Řešení

Analýza situace a převody jednotek

Dané hodnoty:

Hmotnost vozíčku A: $$m_A = 4 \text{ kg}$$
Hmotnost vozíčku B: $$m_B = 2{,}5 \text{ kg}$$
Výškový rozdíl: $$h = 3{,}45 \text{ m}$$
Počáteční rychlost B: $$v_{B0} = 0$$ (stál)

Pozor: Po srážce se vozíčky spojí → nepružná srážka! Energie se NEZACHOVÁ, ale hybnost ANO!

Výběr fyzikální rovnice

Pro sjezd vozíčku A - zákon zachování energie:

📐 Zákon zachování energie

$$E_p = E_k$$ $$m_Agh = \frac{1}{2}m_Av_A^2$$

Pro srážku - zákon zachování hybnosti:

📐 Zákon zachování hybnosti

$$m_Av_A + m_Bv_{B0} = (m_A + m_B)v'$$

Algebraické vyjádření

Rychlost A před srážkou:

$$v_A = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 3{,}45} = \sqrt{69} \approx 8{,}31 \text{ m/s}$$

Rychlost po srážce:

$$v' = \frac{m_Av_A}{m_A + m_B} = \frac{4 \cdot 8{,}31}{4 + 2{,}5} = \frac{33{,}24}{6{,}5} \approx 5{,}11 \text{ m/s}$$

Dosazení a výpočet

a) Rychlost A před srážkou: $$v_A \approx 8{,}31 \text{ m/s}$$

b) Rychlost po srážce: $$v' \approx 5{,}11 \text{ m/s}$$

c) Kinetické energie:

Před srážkou (jen A): $$E_{k,před} = m_Agh = 4 \cdot 10 \cdot 3{,}45 = 138 \text{ J}$$

Po srážce (oba): $$E_{k,po} = \frac{1}{2}(m_A+m_B)(v')^2 = \frac{1}{2} \cdot 6{,}5 \cdot (5{,}11)^2 \approx 84{,}9 \text{ J}$$

d) Ztráta energie: $$\Delta E = 138 - 84{,}9 = 53{,}1 \text{ J}$$

Kontrola a odpověď

Odpovědi:

a) $$v_A \approx 8{,}31 \text{ m/s}$$
b) $$v' \approx 5{,}11 \text{ m/s}$$
c) Před: 138 J, Po: 84,9 J
d) Ztráta: 53,1 J

Vysvětlení: Srážka byla nepružná (vozíčky se spojily). Při nepružné srážce se ZACHOVÁVÁ hybnost, ale NEZACHOVÁVÁ se mechanická energie. Ztracená energie (53,1 J) se přeměnila na teplo, zvuk a deformaci materiálu v místě spojení.

Co by se stalo, kdyby vozíček B byl těžší než A?
Proč se při nepružné srážce nezachová energie, ale hybnost ano?
Jak byste experimentálně ověřili, že se energie skutečně ztratila?
Jaký význam má tato úloha pro bezpečnost v reálných dopravních systémech?

4

Srážka vozíků v opačném směru

Crash testy automobilů simulují různé typy srážek, aby inženýři mohli navrhovat bezpečnější vozidla. Airbags, bezpečnostní pásy a deformační zóny fungují na principech zachování hybnosti a přeměny kinetické energie. Pochopení pružných a nepružných srážek je klíčové pro automobilový průmysl!

Zadání

Vozík A o hmotnosti 2 kg se pohybuje rychlostí 2 m·s⁻¹ a vozík B o hmotnosti 5 kg se pohybuje v opačném směru rychlostí 4 m·s⁻¹.

a) Předpokládáme-li nepružnou srážku, jak velká část jejich kinetické energie se přemění v jinou formu energie?
b) Jaká by byla rychlost obou vozíků po srážce, kdyby byla dokonale pružná?

Řešení

Analýza situace a převody jednotek

Dané hodnoty (volba kladného směru = směr A):

Hmotnost A: $$m_A = 2 \text{ kg}$$
Rychlost A: $$v_A = +2 \text{ m/s}$$ (kladný směr)
Hmotnost B: $$m_B = 5 \text{ kg}$$
Rychlost B: $$v_B = -4 \text{ m/s}$$ (opačný směr)

Pozor na znaménka! Vozíky jedou proti sobě, takže jedna rychlost musí být záporná!

Výběr fyzikální rovnice

Pro nepružnou srážku:

📐 Zákon zachování hybnosti

$$m_Av_A + m_Bv_B = (m_A + m_B)v'$$

Pro pružnou srážku:

📐 Vzorce pro pružnou srážku

$$v'_A = \frac{(m_A - m_B)v_A + 2m_Bv_B}{m_A + m_B}$$ $$v'_B = \frac{2m_Av_A + (m_B - m_A)v_B}{m_A + m_B}$$

Algebraické vyjádření

Nepružná srážka - celková energie před:

$$E_{k,před} = \frac{1}{2}m_Av_A^2 + \frac{1}{2}m_Bv_B^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2^2 + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (-4)^2 = 4 + 40 = 44 \text{ J}$$

Rychlost po nepružné srážce:

$$v' = \frac{2 \cdot 2 + 5 \cdot (-4)}{2 + 5} = \frac{4 - 20}{7} = -\frac{16}{7} \approx -2{,}29 \text{ m/s}$$

Dosazení a výpočet

a) Nepružná srážka:

Energie po srážce: $$E_{k,po} = \frac{1}{2}(m_A+m_B)(v')^2 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot (-2{,}29)^2 \approx 18{,}4 \text{ J}$$

Ztráta energie: $$\Delta E_k = 44 - 18{,}4 = 25{,}6 \text{ J}$$

b) Pružná srážka:

$$v'_A = \frac{(2-5) \cdot 2 + 2 \cdot 5 \cdot (-4)}{7} = \frac{-6 - 40}{7} = -\frac{46}{7} \approx -6{,}57 \text{ m/s}$$ $$v'_B = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 + (5-2) \cdot (-4)}{7} = \frac{8 - 12}{7} = -\frac{4}{7} \approx -0{,}57 \text{ m/s}$$

Kontrola a odpověď

Odpovědi:

a) Při nepružné srážce se ztratilo 25,6 J energie
b) Po pružné srážce: $$v'_A \approx -6{,}57 \text{ m/s}$$, $$v'_B \approx -0{,}57 \text{ m/s}$$

Význam: U nepružné srážky se část energie "ztratí" (přemění na teplo, zvuk). U pružné srážky se energie zachová a vozíky se od sebe "odrazí". Oba mají po srážce zápornou rychlost → jed ou směrem vozíku B.

Proč oba vozíky jedou po srážce stejným směrem?
Co je rozdíl mezi pružnou a nepružnou srážkou v reálném světě?
Jak souvisí ztráta energie s bezpečností při autonehodách?
Které předpoklady jsme udělali? (Tření, odpor vzduchu...)

5

Odraz míče a impuls síly

Sportovní výkon v baseballu, tenisu či golfu závisí na tom, jak velkou silou a po jakou dobu působí hráč na míček. Trenéři analyzují dobu kontaktu pálky s míčem a sílu úderu pomocí high-speed kamer. Podobně ochranné pomůcky (helmy, chrániče) prodlužují dobu nárazu, aby snížily maximální sílu působící na tělo!

Zadání

Míč o hmotnosti 0,25 kg byl spuštěn z výšky 2,0 m a odrazil do výšky 0,38 m. Vypočtěte:

a) rychlost míče těsně před dopadem
b) rychlost míče těsně po odrazu
c) změnu hybnosti míče při odrazu
d) sílu působící při odrazu, jestliže kontakt s povrchem trval 0,070 s

Řešení

Analýza situace a převody jednotek

Dané hodnoty:

Hmotnost: $$m = 0{,}25 \text{ kg}$$
Počáteční výška: $$h_1 = 2{,}0 \text{ m}$$
Výška po odrazu: $$h_2 = 0{,}38 \text{ m}$$
Doba kontaktu: $$\Delta t = 0{,}070 \text{ s}$$
Tíhové zrychlení: $$g = 9{,}81 \text{ m/s}^2$$

Hybnost je vektorová veličina! Před dopadem míří dolů (záporná), po odrazu nahoru (kladná).

Výběr fyzikální rovnice

📐 Zákon zachování energie

$$E_p = E_k$$ $$v = \sqrt{2gh}$$

📐 Impuls síly

$$F \cdot \Delta t = \Delta p = m(v_2 - v_1)$$

Algebraické vyjádření

Rychlosti:

$$v_1 = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 2{,}0} \approx 6{,}26 \text{ m/s}$$ (dolů) $$v_2 = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}38} \approx 2{,}73 \text{ m/s}$$ (nahoru)

Dosazení a výpočet

a) a b) Rychlosti: $$v_1 \approx 6{,}26 \text{ m/s}$$, $$v_2 \approx 2{,}73 \text{ m/s}$$

c) Změna hybnosti (volíme nahoru jako kladný směr):

$$\Delta p = m(v_2 - v_1) = m(+2{,}73 - (-6{,}26)) = 0{,}25 \cdot 8{,}99 \approx 2{,}25 \text{ kg·m/s}$$

d) Síla při odrazu:

$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2{,}25}{0{,}070} \approx 32{,}1 \text{ N}$$

Kontrola a odpověď

Odpovědi:

a) $$v_1 \approx 6{,}26 \text{ m/s}$$
b) $$v_2 \approx 2{,}73 \text{ m/s}$$
c) $$\Delta p \approx 2{,}25 \text{ kg·m/s}$$
d) $$F \approx 32{,}1 \text{ N}$$

Zajímavost: Síla 32 N je asi 13× větší než tíha míče (2,45 N)! To ukazuje, jak velké síly vznikají při krátkých nárazech.

Proč je důležité, že kontakt trval pouze 0,07 sekundy?
Co by se stalo se silou, kdyby kontakt trval déle (např. 0,14 s)?
Jak tento princip využívají ochranné helmy a chrániče?
Proč jsme museli uvažovat směr rychlostí?

6

Srážka železničních vagonů

Železniční logistika vyžaduje časté spojování a rozpojování vagonů. Dispečeři musí vypočítat, jakou rychlostí smí vagony najíždět, aby nedošlo k poškození nákladu. Pochopení zachování hybnosti a ztráty energie při srážkách je klíčové pro bezpečnou železniční dopravu!

Zadání

Železniční vagon o hmotnosti 1800 kg pohybující se rychlostí 1,7 m·s⁻¹ narazí do třech stejných stojících vagonů. Po nárazu se vagony spojí a pohybují se společně. Vypočtěte:

a) rychlost vagonů po nárazu
b) změnu kinetické energie v důsledku srážky
c) předpokládejte, že tři vagony nestojí, ale pohybují se všechny stejnou rychlostí 1 m·s⁻¹ opačným směrem než uvažovaný vagon a vypočtěte rychlost vagonů po nárazu a změnu kinetické energie

Řešení

Analýza situace a převody jednotek

Dané hodnoty:

Hmotnost 1 vagonu: $$m = 1800 \text{ kg}$$
Vagon A: $$m_A = m$$, $$v_A = 1{,}7 \text{ m/s}$$
Tři vagony B: $$m_B = 3m = 5400 \text{ kg}$$
Celková hmotnost po spojení: $$M = 4m = 7200 \text{ kg}$$

Pozor: Celková hmotnost je 4 vagony! Nezapomeň na to při výpočtech.

Výběr fyzikální rovnice

📐 Zákon zachování hybnosti

$$m_Av_A + m_Bv_B = Mv'$$

Algebraické vyjádření

a) b) Stojící vagony (vB = 0):

$$v' = \frac{m_Av_A}{M} = \frac{1800 \cdot 1{,}7}{7200} = \frac{3060}{7200} = 0{,}425 \text{ m/s}$$

c) Protijedoucí vagony (vB = -1 m/s):

$$v'' = \frac{m_Av_A + m_Bv_B}{M} = \frac{1800 \cdot 1{,}7 + 5400 \cdot (-1)}{7200} = \frac{3060 - 5400}{7200} = -0{,}325 \text{ m/s}$$

Dosazení a výpočet

a) Rychlost po nárazu (stojící): $$v' = 0{,}425 \text{ m/s}$$

b) Změna energie (stojící):

$$E_{k,před} = \frac{1}{2}m_Av_A^2 = \frac{1}{2} \cdot 1800 \cdot 1{,}7^2 = 2601 \text{ J}$$ $$E_{k,po} = \frac{1}{2}M(v')^2 = \frac{1}{2} \cdot 7200 \cdot 0{,}425^2 \approx 650 \text{ J}$$ $$\Delta E_k = 650 - 2601 = -1951 \text{ J}$$

c) Čelní srážka:

Rychlost: $$v'' = -0{,}325 \text{ m/s}$$ (záporná = směr původních tří vagonů)

$$E_{k,před} = \frac{1}{2} \cdot 1800 \cdot 1{,}7^2 + \frac{1}{2} \cdot 5400 \cdot 1^2 = 2601 + 2700 = 5301 \text{ J}$$ $$E_{k,po} = \frac{1}{2} \cdot 7200 \cdot 0{,}325^2 \approx 380 \text{ J}$$ $$\Delta E_k = 380 - 5301 = -4921 \text{ J}$$

Kontrola a odpověď

Odpovědi:

a) $$v' = 0{,}425 \text{ m/s}$$
b) $$\Delta E_k = -1951 \text{ J}$$
c) Čelní: $$v'' = -0{,}325 \text{ m/s}$$, $$\Delta E_k = -4921 \text{ J}$$

Porovnání: Čelní srážka má mnohem větší ztrátu energie (4921 J vs 1951 J)! To potvrzuje, že čelní srážky jsou mnohem nebezpečnější.

Proč je ztráta energie u čelní srážky více než dvojnásobná?
Kam se "ztracená" energie přeměnila?
Jak tento princip souvisí s bezpečností silniční dopravy?
Co by se stalo, kdyby všechny 4 vagony jely stejně rychle stejným směrem?

Mechanická práce, výkon a energie - Zadání a řešení

Zadání

Řešení

Analýza situace a převody jednotek

Výběr fyzikálních rovnic

Algebraické vyjádření

Dosazení a výpočet

Kontrola a odpověď

Zadání

Řešení

Analýza situace a převody jednotek

Výběr fyzikální rovnice

Algebraické vyjádření

Dosazení a výpočet

Kontrola a odpověď

Zadání

Řešení

Analýza situace a převody jednotek

Výběr fyzikální rovnice

Algebraické vyjádření

Dosazení a výpočet

Kontrola a odpověď

Zadání

Řešení

Analýza situace a převody jednotek

Výběr fyzikální rovnice

Algebraické vyjádření

Dosazení a výpočet

Kontrola a odpověď

Zadání

Řešení

Analýza situace a převody jednotek

Výběr fyzikální rovnice

Algebraické vyjádření

Dosazení a výpočet

Kontrola a odpověď

Zadání

Řešení

Analýza situace a převody jednotek

Výběr fyzikální rovnice

Algebraické vyjádření

Dosazení a výpočet

Kontrola a odpověď

📚 Zdroje