6. Srážka železničních vagonů
Mechanická práce a energie - řešený příklad
💡 Praktická aplikace: Železniční logistika vyžaduje časté spojování a rozpojování vagonů. Dispečeři musí vypočítat, jakou rychlostí smí vagony najíždět, aby nedošlo k poškození nákladu. Pochopení zachování hybnosti a ztráty energie při srážkách je klíčové pro bezpečnou železniční dopravu!
Zadání úlohy
Železniční vagon o hmotnosti 1800 kg pohybující se rychlostí 1,7 m·s⁻¹ narazí do třech stejných stojících vagonů. Po nárazu se vagony spojí a pohybují se společně. Vypočtěte:
a) rychlost vagonů po nárazu
b) změnu kinetické energie v důsledku srážky
c) předpokládejte, že tři vagony nestojí, ale pohybují se všechny stejnou rychlostí 1 m·s⁻¹ opačným směrem než uvažovaný vagon a vypočtěte rychlost vagonů po nárazu a změnu kinetické energie
a) rychlost vagonů po nárazu
b) změnu kinetické energie v důsledku srážky
c) předpokládejte, že tři vagony nestojí, ale pohybují se všechny stejnou rychlostí 1 m·s⁻¹ opačným směrem než uvažovaný vagon a vypočtěte rychlost vagonů po nárazu a změnu kinetické energie
Postup řešení
Krok 1: Analýza situace a převody jednotek
Dané hodnoty:
- Hmotnost 1 vagonu: $$m = 1800 \text{ kg}$$
- Vagon A: $$m_A = m$$, $$v_A = 1{,}7 \text{ m/s}$$
- Tři vagony B: $$m_B = 3m = 5400 \text{ kg}$$
- Celková hmotnost po spojení: $$M = 4m = 7200 \text{ kg}$$
Pozor: Celková hmotnost je 4 vagony! Nezapomeň na to při výpočtech.
Krok 2: Výběr fyzikální rovnice
📐 Zákon zachování hybnosti
$$m_Av_A + m_Bv_B = Mv'$$
Krok 3: Algebraické vyjádření
a) b) Stojící vagony (vB = 0):
$$v' = \frac{m_Av_A}{M} = \frac{1800 \cdot 1{,}7}{7200} = \frac{3060}{7200} = 0{,}425 \text{ m/s}$$
c) Protijedoucí vagony (vB = -1 m/s):
$$v'' = \frac{m_Av_A + m_Bv_B}{M} = \frac{1800 \cdot 1{,}7 + 5400 \cdot (-1)}{7200} = \frac{3060 - 5400}{7200} = -0{,}325 \text{ m/s}$$
Krok 4: Dosazení a výpočet
a) Rychlost po nárazu (stojící): $$v' = 0{,}425 \text{ m/s}$$
b) Změna energie (stojící):
$$E_{k,před} = \frac{1}{2}m_Av_A^2 = \frac{1}{2} \cdot 1800 \cdot 1{,}7^2 = 2601 \text{ J}$$
$$E_{k,po} = \frac{1}{2}M(v')^2 = \frac{1}{2} \cdot 7200 \cdot 0{,}425^2 \approx 650 \text{ J}$$
$$\Delta E_k = 650 - 2601 = -1951 \text{ J}$$
c) Čelní srážka:
Rychlost: $$v'' = -0{,}325 \text{ m/s}$$ (záporná = směr původních tří vagonů)
$$E_{k,před} = \frac{1}{2} \cdot 1800 \cdot 1{,}7^2 + \frac{1}{2} \cdot 5400 \cdot 1^2 = 2601 + 2700 = 5301 \text{ J}$$
$$E_{k,po} = \frac{1}{2} \cdot 7200 \cdot 0{,}325^2 \approx 380 \text{ J}$$
$$\Delta E_k = 380 - 5301 = -4921 \text{ J}$$
Krok 5: Kontrola a odpověď
Odpovědi:
- a) $$v' = 0{,}425 \text{ m/s}$$
- b) $$\Delta E_k = -1951 \text{ J}$$
- c) Čelní: $$v'' = -0{,}325 \text{ m/s}$$, $$\Delta E_k = -4921 \text{ J}$$
Porovnání: Čelní srážka má mnohem větší ztrátu energie (4921 J vs 1951 J)! To potvrzuje, že čelní srážky jsou mnohem nebezpečnější.
Shrnutí a kontrola
Hlavní poznatky:
- Při nepružné srážce se zachovává hybnost, ne energie
- Rychlost po srážce: v' = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
- Čelní srážka má mnohem větší ztrátu energie než srážka se stojícím objektem
- Ztracená energie se přemění na teplo, zvuk a deformaci
Kontrola rozumnosti: U čelní srážky se ztratí 93% původní energie (4921 z 5301 J) - extrémně nebezpečné!
🤔 Metakognitivní otázky
- Proč je ztráta energie u čelní srážky více než dvojnásobná?
- Kam se "ztracená" energie přeměnila?
- Jak tento princip souvisí s bezpečností silniční dopravy?
- Co by se stalo, kdyby všechny 4 vagony jely stejně rychle stejným směrem?