5. Odraz míče a impuls síly

Mechanická práce a energie - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Sportovní výkon v baseballu, tenisu či golfu závisí na tom, jak velkou silou a po jakou dobu působí hráč na míček. Trenéři analyzují dobu kontaktu pálky s míčem a sílu úderu pomocí high-speed kamer. Podobně ochranné pomůcky (helmy, chrániče) prodlužují dobu nárazu, aby snížily maximální sílu působící na tělo!

Zadání úlohy

Míč o hmotnosti 0,25 kg byl spuštěn z výšky 2,0 m a odrazil do výšky 0,38 m. Vypočtěte:

a) rychlost míče těsně před dopadem
b) rychlost míče těsně po odrazu
c) změnu hybnosti míče při odrazu
d) sílu působící při odrazu, jestliže kontakt s povrchem trval 0,070 s

Postup řešení

Krok 1: Analýza situace a převody jednotek

Dané hodnoty:

  • Hmotnost: $$m = 0{,}25 \text{ kg}$$
  • Počáteční výška: $$h_1 = 2{,}0 \text{ m}$$
  • Výška po odrazu: $$h_2 = 0{,}38 \text{ m}$$
  • Doba kontaktu: $$\Delta t = 0{,}070 \text{ s}$$
  • Tíhové zrychlení: $$g = 9{,}81 \text{ m/s}^2$$
Hybnost je vektorová veličina! Před dopadem míří dolů (záporná), po odrazu nahoru (kladná).

Krok 2: Výběr fyzikální rovnice

📐 Zákon zachování energie
$$E_p = E_k$$ $$v = \sqrt{2gh}$$
📐 Impuls síly
$$F \cdot \Delta t = \Delta p = m(v_2 - v_1)$$

Krok 3: Algebraické vyjádření

Rychlosti:

$$v_1 = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 2{,}0} \approx 6{,}26 \text{ m/s}$$ (dolů) $$v_2 = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}38} \approx 2{,}73 \text{ m/s}$$ (nahoru)

Krok 4: Dosazení a výpočet

a) a b) Rychlosti: $$v_1 \approx 6{,}26 \text{ m/s}$$, $$v_2 \approx 2{,}73 \text{ m/s}$$

c) Změna hybnosti (volíme nahoru jako kladný směr):

$$\Delta p = m(v_2 - v_1) = m(+2{,}73 - (-6{,}26)) = 0{,}25 \cdot 8{,}99 \approx 2{,}25 \text{ kg·m/s}$$

d) Síla při odrazu:

$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2{,}25}{0{,}070} \approx 32{,}1 \text{ N}$$

Krok 5: Kontrola a odpověď

Odpovědi:

  • a) $$v_1 \approx 6{,}26 \text{ m/s}$$
  • b) $$v_2 \approx 2{,}73 \text{ m/s}$$
  • c) $$\Delta p \approx 2{,}25 \text{ kg·m/s}$$
  • d) $$F \approx 32{,}1 \text{ N}$$

Zajímavost: Síla 32 N je asi 13× větší než tíha míče (2,45 N)! To ukazuje, jak velké síly vznikají při krátkých nárazech.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Rychlost při volném pádu: v = √(2gh)
  • Změna hybnosti: Δp = m(v₂ - v₁) - pozor na znaménka!
  • Impuls síly: F·Δt = Δp
  • Krátký kontakt → velká síla (pro stejnou změnu hybnosti)
Kontrola rozumnosti: Síla 32 N je více než 10× větší než tíha míče - typické pro krátké nárazy.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč je důležité, že kontakt trval pouze 0,07 sekundy?
  • Co by se stalo se silou, kdyby kontakt trval déle (např. 0,14 s)?
  • Jak tento princip využívají ochranné helmy a chrániče?
  • Proč jsme museli uvažovat směr rychlostí?