4. Srážka vozíků v opačném směru
Mechanická práce a energie - řešený příklad
💡 Praktická aplikace: Crash testy automobilů simulují různé typy srážek, aby inženýři mohli navrhovat bezpečnější vozidla. Airbags, bezpečnostní pásy a deformační zóny fungují na principech zachování hybnosti a přeměny kinetické energie. Pochopení pružných a nepružných srážek je klíčové pro automobilový průmysl!
Zadání úlohy
Vozík A o hmotnosti 2 kg se pohybuje rychlostí 2 m·s⁻¹ a vozík B o hmotnosti 5 kg se pohybuje v opačném směru rychlostí 4 m·s⁻¹.
a) Předpokládáme-li nepružnou srážku, jak velká část jejich kinetické energie se přemění v jinou formu energie?
b) Jaká by byla rychlost obou vozíků po srážce, kdyby byla dokonale pružná?
a) Předpokládáme-li nepružnou srážku, jak velká část jejich kinetické energie se přemění v jinou formu energie?
b) Jaká by byla rychlost obou vozíků po srážce, kdyby byla dokonale pružná?
Postup řešení
Krok 1: Analýza situace a převody jednotek
Dané hodnoty (volba kladného směru = směr A):
- Hmotnost A: $$m_A = 2 \text{ kg}$$
- Rychlost A: $$v_A = +2 \text{ m/s}$$ (kladný směr)
- Hmotnost B: $$m_B = 5 \text{ kg}$$
- Rychlost B: $$v_B = -4 \text{ m/s}$$ (opačný směr)
Pozor na znaménka! Vozíky jedou proti sobě, takže jedna rychlost musí být záporná!
Krok 2: Výběr fyzikální rovnice
Pro nepružnou srážku:
📐 Zákon zachování hybnosti
$$m_Av_A + m_Bv_B = (m_A + m_B)v'$$
Pro pružnou srážku:
📐 Vzorce pro pružnou srážku
$$v'_A = \frac{(m_A - m_B)v_A + 2m_Bv_B}{m_A + m_B}$$
$$v'_B = \frac{2m_Av_A + (m_B - m_A)v_B}{m_A + m_B}$$
Krok 3: Algebraické vyjádření
Nepružná srážka - celková energie před:
$$E_{k,před} = \frac{1}{2}m_Av_A^2 + \frac{1}{2}m_Bv_B^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2^2 + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (-4)^2 = 4 + 40 = 44 \text{ J}$$
Rychlost po nepružné srážce:
$$v' = \frac{2 \cdot 2 + 5 \cdot (-4)}{2 + 5} = \frac{4 - 20}{7} = -\frac{16}{7} \approx -2{,}29 \text{ m/s}$$
Krok 4: Dosazení a výpočet
a) Nepružná srážka:
Energie po srážce: $$E_{k,po} = \frac{1}{2}(m_A+m_B)(v')^2 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot (-2{,}29)^2 \approx 18{,}4 \text{ J}$$
Ztráta energie: $$\Delta E_k = 44 - 18{,}4 = 25{,}6 \text{ J}$$
b) Pružná srážka:
$$v'_A = \frac{(2-5) \cdot 2 + 2 \cdot 5 \cdot (-4)}{7} = \frac{-6 - 40}{7} = -\frac{46}{7} \approx -6{,}57 \text{ m/s}$$
$$v'_B = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 + (5-2) \cdot (-4)}{7} = \frac{8 - 12}{7} = -\frac{4}{7} \approx -0{,}57 \text{ m/s}$$
Krok 5: Kontrola a odpověď
Odpovědi:
- a) Při nepružné srážce se ztratilo 25,6 J energie
- b) Po pružné srážce: $$v'_A \approx -6{,}57 \text{ m/s}$$, $$v'_B \approx -0{,}57 \text{ m/s}$$
Význam: U nepružné srážky se část energie "ztratí" (přemění na teplo, zvuk). U pružné srážky se energie zachová a vozíky se od sebe "odrazí". Oba mají po srážce zápornou rychlost → jedou směrem vozíku B.
Shrnutí a kontrola
Hlavní poznatky:
- Při čelní srážce je důležité správně určit znaménka rychlostí
- U nepružné srážky se zachovává hybnost, ale ne mechanická energie
- U pružné srážky se zachovává jak hybnost, tak mechanická energie
- Ztracená energie se přemění na teplo, zvuk a deformaci
Kontrola rozumnosti: Oba vozíky jedou po srážce směrem těžšího vozíku B (záporný směr), což odpovídá fyzikální realitě.
🤔 Metakognitivní otázky
- Proč oba vozíky jedou po srážce stejným směrem?
- Co je rozdíl mezi pružnou a nepružnou srážkou v reálném světě?
- Jak souvisí ztráta energie s bezpečností při autonehodách?
- Které předpoklady jsme udělali? (Tření, odpor vzduchu...)