3. Vozíčky na nakloněné rovině

Mechanická práce a energie - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Ve skladech a distribučních centrech se denně pohybují tisíce vozíků s nákladem. Pochopení přeměny energií a srážek je klíčové pro bezpečnost - projektanti musí navrhovat brzdné systémy a ochranné bariéry. Podobné principy se využívají v dopravních systémech, horských drahách a všude, kde se pohybují vozidla!

Zadání úlohy

Vozíček A o hmotnosti 4 kg s lehkými kolečky je udržován na hladké nakloněné rovině. Po uvolnění bez tření sjede po nakloněné rovině tak, že jeho hmotný střed je na vodorovné rovině o 3,45 m níže než na počátku a narazí do druhého podobného vozíčku B o hmotnosti 2,5 kg, který stál na vodorovné rovině. Po srážce se oba vozíčky pohybují jako jedno těleso. (g = 10 m·s⁻²)

a) Vypočtěte rychlost vozíčku A bezprostředně před srážkou
b) Vypočítejte rychlost obou vozíčků po srážce s využitím zákona zachování hybnosti
c) Vypočtěte kinetickou energii vozíčku A těsně před srážkou a kinetickou energii obou vozíčků po srážce
d) Vysvětlete, proč je kinetická energie před a po srážce různá

Postup řešení

Krok 1: Analýza situace a převody jednotek

Dané hodnoty:

  • Hmotnost vozíčku A: $$m_A = 4 \text{ kg}$$
  • Hmotnost vozíčku B: $$m_B = 2{,}5 \text{ kg}$$
  • Výškový rozdíl: $$h = 3{,}45 \text{ m}$$
  • Počáteční rychlost B: $$v_{B0} = 0$$ (stál)
Pozor: Po srážce se vozíčky spojí → nepružná srážka! Energie se NEZACHOVÁ, ale hybnost ANO!

Krok 2: Výběr fyzikální rovnice

Pro sjezd vozíčku A - zákon zachování energie:

📐 Zákon zachování energie
$$E_p = E_k$$ $$m_Agh = \frac{1}{2}m_Av_A^2$$

Pro srážku - zákon zachování hybnosti:

📐 Zákon zachování hybnosti
$$m_Av_A + m_Bv_{B0} = (m_A + m_B)v'$$

Krok 3: Algebraické vyjádření

Rychlost A před srážkou:

$$v_A = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 3{,}45} = \sqrt{69} \approx 8{,}31 \text{ m/s}$$

Rychlost po srážce:

$$v' = \frac{m_Av_A}{m_A + m_B} = \frac{4 \cdot 8{,}31}{4 + 2{,}5} = \frac{33{,}24}{6{,}5} \approx 5{,}11 \text{ m/s}$$

Krok 4: Dosazení a výpočet

a) Rychlost A před srážkou: $$v_A \approx 8{,}31 \text{ m/s}$$

b) Rychlost po srážce: $$v' \approx 5{,}11 \text{ m/s}$$

c) Kinetické energie:

Před srážkou (jen A): $$E_{k,před} = m_Agh = 4 \cdot 10 \cdot 3{,}45 = 138 \text{ J}$$

Po srážce (oba): $$E_{k,po} = \frac{1}{2}(m_A+m_B)(v')^2 = \frac{1}{2} \cdot 6{,}5 \cdot (5{,}11)^2 \approx 84{,}9 \text{ J}$$

d) Ztráta energie: $$\Delta E = 138 - 84{,}9 = 53{,}1 \text{ J}$$

Krok 5: Kontrola a odpověď

Odpovědi:

  • a) $$v_A \approx 8{,}31 \text{ m/s}$$
  • b) $$v' \approx 5{,}11 \text{ m/s}$$
  • c) Před: 138 J, Po: 84,9 J
  • d) Ztráta: 53,1 J

Vysvětlení: Srážka byla nepružná (vozíčky se spojily). Při nepružné srážce se ZACHOVÁVÁ hybnost, ale NEZACHOVÁVÁ se mechanická energie. Ztracená energie (53,1 J) se přeměnila na teplo, zvuk a deformaci materiálu v místě spojení.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Při sjezdu z nakloněné roviny se potenciální energie mění na kinetickou
  • Při nepružné srážce se zachovává hybnost: $$m_Av_A = (m_A + m_B)v'$$
  • Při nepružné srážce se mechanická energie nezachovává
  • Ztracená energie se přemění na teplo, zvuk a deformaci
Kontrola rozumnosti: Rychlost klesla z 8,31 na 5,11 m/s a energie z 138 na 85 J - typické pro nepružnou srážku.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Co by se stalo, kdyby vozíček B byl těžší než A?
  • Proč se při nepružné srážce nezachová energie, ale hybnost ano?
  • Jak byste experimentálně ověřili, že se energie skutečně ztratila?
  • Jaký význam má tato úloha pro bezpečnost v reálných dopravních systémech?