2. Odraz míče z výšky

Mechanická práce a energie - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Výrobci sportovního vybavení testují míče podle toho, jak dobře se odrážejí. Basketbalové, tenisové i volejbalové míče musí splňovat přesné standardy odrazovosti. Podobně fungují bezpečnostní nárazníky aut - část energie srážky se přemění na deformaci materiálu, aby chránila posádku!

Zadání úlohy

Pružný míč o hmotnosti 50 g byl volně puštěn z výšky 1,55 m nad upevněnou vodorovnou kovovou deskou. Po odrazu vyskočil do výšky 1,00 m nad deskou. Vypočtěte (g = 10 m·s⁻²):

a) rychlost míče těsně před dopadem
b) hybnost míče těsně před dopadem
c) kinetickou energii míče těsně před dopadem
d) změnu energie při dopadu. Zdůvodněte.

Postup řešení

Krok 1: Analýza situace a převody jednotek

Dané hodnoty:

  • Hmotnost: $$m = 50 \text{ g} = 0{,}05 \text{ kg}$$
  • Počáteční výška: $$h_1 = 1{,}55 \text{ m}$$
  • Výška po odrazu: $$h_2 = 1{,}00 \text{ m}$$
  • Tíhové zrychlení: $$g = 10 \text{ m/s}^2$$
Nezapomeň převést gramy na kilogramy! 50 g = 0,05 kg

Krok 2: Výběr fyzikální rovnice

Použijeme zákon zachování mechanické energie:

📐 Zákon zachování energie
$$E_p = E_k$$ $$mgh = \frac{1}{2}mv^2$$
📐 Hybnost
$$p = mv$$

Krok 3: Algebraické vyjádření

Z rovnice $$mgh_1 = \frac{1}{2}mv_1^2$$ zkrátíme hmotnost a vyjádříme rychlost:

$$v_1 = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 1{,}55} = \sqrt{31} \approx 5{,}57 \text{ m/s}$$

Krok 4: Dosazení a výpočet

a) Rychlost před dopadem:

$$v_1 = 5{,}57 \text{ m/s}$$

b) Hybnost před dopadem:

$$p_1 = mv_1 = 0{,}05 \cdot 5{,}57 = 0{,}28 \text{ kg·m/s}$$

c) Kinetická energie před dopadem:

$$E_{k1} = E_{p1} = mgh_1 = 0{,}05 \cdot 10 \cdot 1{,}55 = 0{,}775 \text{ J}$$

d) Změna energie:

Energie po odrazu: $$E_2 = mgh_2 = 0{,}05 \cdot 10 \cdot 1{,}00 = 0{,}5 \text{ J}$$

$$\Delta E = E_1 - E_2 = 0{,}775 - 0{,}5 = 0{,}275 \text{ J}$$

Krok 5: Kontrola a odpověď

Odpovědi:

  • a) $$v_1 \approx 5{,}57 \text{ m/s}$$
  • b) $$p_1 \approx 0{,}28 \text{ kg·m/s}$$
  • c) $$E_{k1} = 0{,}775 \text{ J}$$
  • d) $$\Delta E = 0{,}275 \text{ J}$$ ztraceno

Zdůvodnění: Srážka nebyla dokonale pružná. Ztracená energie (0,275 J) se přeměnila na teplo (zahřátí míče a desky) a zvuk (slyšeli jsme "bouchnutí"). Energie se nezachovala v mechanické formě, ale celková energie včetně tepla a zvuku se zachovala.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Při pádu se potenciální energie mění na kinetickou
  • Rychlost před dopadem lze spočítat z výšky: v = √(2gh)
  • Při nepružné srážce se část mechanické energie "ztratí" (přemění na jiné formy)
  • Celková energie se vždy zachovává (včetně tepla a zvuku)
Kontrola rozumnosti: Míč nevyskočil do původní výšky, což je očekávané - žádný reálný míč není dokonale pružný.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč míč nevyskočil do stejné výšky, ze které byl puštěn?
  • Co by se stalo, kdyby byl míč dokonale pružný?
  • Jak byste změřili, kolik energie se přeměnilo na teplo?
  • Proč některé míče (basketbal) odrážejí lépe než jiné (tenisák)?