1. Práce a výkon stálé síly
Mechanická práce a energie - řešený příklad
💡 Praktická aplikace: GPS navigace v autech počítá předpokládané časy příjezdu na základě výkonu a práce motoru. Dispečeři dopravních firem plánují trasy podle spotřeby paliva, která přímo souvisí s prací vykonanou motorem. Bez těchto výpočtů by moderní doprava a logistika nemohly efektivně fungovat!
Zadání úlohy
Na těleso, jež bylo na počátku v klidu, působí výsledná síla 80 N po dobu 5 s. Předpokládejte, že hmotnost tělesa je 2 kg a vypočtěte:
a) práci, kterou síla vykoná
b) její průměrný výkon
c) okamžitý výkon v 5 s od začátku pohybu
d) porovnejte b) a c), diskutujte případný rozdíl výsledků
a) práci, kterou síla vykoná
b) její průměrný výkon
c) okamžitý výkon v 5 s od začátku pohybu
d) porovnejte b) a c), diskutujte případný rozdíl výsledků
Postup řešení
Krok 1: Analýza situace a převody jednotek
Dané hodnoty:
- Síla: $$F = 80 \text{ N}$$
- Čas: $$t = 5 \text{ s}$$
- Hmotnost: $$m = 2 \text{ kg}$$
- Počáteční rychlost: $$v_0 = 0 \text{ m/s}$$ (těleso bylo v klidu)
Těleso se pohybuje s konstantním zrychlením - rovnoměrně zrychlený pohyb.
Pamatuj: Pro výpočet práce potřebujeme znát dráhu, kterou musíme nejdřív vypočítat přes zrychlení!
Krok 2: Výběr fyzikálních rovnic
Budeme potřebovat:
📐 Druhý Newtonův zákon
$$a = \frac{F}{m}$$
📐 Dráha při rovnoměrně zrychleném pohybu
$$s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$$ (protože $$v_0 = 0$$)
📐 Práce a výkon
$$W = F \cdot s$$
$$\bar{P} = \frac{W}{t}$$
$$P = F \cdot v$$
Krok 3: Algebraické vyjádření
Nejdříve vypočítáme zrychlení:
$$a = \frac{80}{2} = 40 \text{ m/s}^2$$
Pak dráhu:
$$s = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 5^2 = 20 \cdot 25 = 500 \text{ m}$$
Krok 4: Dosazení a výpočet
a) Práce:
$$W = F \cdot s = 80 \cdot 500 = 40\,000 \text{ J} = 40 \text{ kJ}$$
b) Průměrný výkon:
$$\bar{P} = \frac{W}{t} = \frac{40\,000}{5} = 8\,000 \text{ W} = 8 \text{ kW}$$
c) Okamžitý výkon v t=5s:
Nejdříve konečná rychlost: $$v = v_0 + at = 0 + 40 \cdot 5 = 200 \text{ m/s}$$
$$P = F \cdot v = 80 \cdot 200 = 16\,000 \text{ W} = 16 \text{ kW}$$
d) Porovnání:
Okamžitý výkon (16 kW) je přesně dvojnásobný oproti průměrnému (8 kW).
Krok 5: Kontrola a odpověď
Odpovědi:
- a) Práce: W = 40 kJ
- b) Průměrný výkon: P̄ = 8 kW
- c) Okamžitý výkon: P = 16 kW
- d) Okamžitý výkon je 2× větší
Vysvětlení rozdílu: Výkon roste lineárně s rychlostí (P = F·v). Protože rychlost roste od 0 do 200 m/s, výkon roste od 0 do 16 kW. Průměrná hodnota lineárního růstu je polovina maxima: (0 + 16)/2 = 8 kW.
Shrnutí a kontrola
Hlavní poznatky:
- Práce stálé síly závisí na velikosti síly a uražené dráze: W = F · s
- Průměrný výkon je práce dělená časem: P̄ = W/t
- Okamžitý výkon je součin síly a okamžité rychlosti: P = F · v
- Při rovnoměrně zrychleném pohybu roste výkon lineárně s časem
Kontrola rozumnosti: Výkon 8-16 kW odpovídá výkonu silného automobilu. Pro malé těleso 2 kg s obrovským zrychlením 40 m/s² je to realistické.
🤔 Metakognitivní otázky
- Co by se stalo s výkonem, kdyby síla působila pouze polovinu času?
- Proč je okamžitý výkon na konci větší než průměrný?
- Jak souvisí graf v-t s rozdílem mezi průměrným a okamžitým výkonem?
- V jakých reálných situacích je důležitý okamžitý vs. průměrný výkon?