56. Pohyb tělesa ve výtahu

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Praktická aplikace fyziky v reálném světě.

Zadání úlohy

Na obrázku jsou znázorněny změny velikosti rychlosti při rozjíždění a zastavování výtahu, který jede směrem vzhůru. Určete velikost výsledné síly, která napíná lano, je-li hmotnost kabiny s cestujícími 1200 kg. Řešte po jednotlivých úsecích. Pro každý úsek také nakreslete obrázek se znázorněním působících sil.

Postup řešení

Úloha popisuje pohyb výtahu vzhůru, který se skládá ze tří fází: rozjezd (rovnoměrně zrychlený pohyb), jízda konstantní rychlostí (rovnoměrný přímočarý pohyb) a zastavování (rovnoměrně zpomalený pohyb). V každé fázi musíme určit zrychlení a následně pomocí 2. Newtonova zákona vypočítat sílu napínající lano.

Na výtah působí dvě síly: tahová síla lana $\vec{F}_t$ (směrem vzhůru) a tíhová síla $\vec{F}_g$ (směrem dolů). Výslednice těchto sil uděluje výtahu zrychlení. Zvolíme směr vzhůru jako kladný (+).

Data: $m = 1200 \, \text{kg}$, $g \approx 10 \, \text{m/s}^2$.

Úseky pohybu z grafu:

  • Úsek 1 (0-4 s): Rozjezd, rychlost roste z 0 na 2 m/s.
  • Úsek 2 (4-10 s): Rovnoměrný pohyb rychlostí 2 m/s.
  • Úsek 3 (10-12 s): Zastavování, rychlost klesá z 2 m/s na 0.

Pro výpočet zrychlení z grafu: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$. Pro výpočet síly tahu lana použijeme 2. Newtonův zákon pro svislý směr:

2. Newtonův zákon
$F_{vysl} = F_t - F_g = m \cdot a \implies F_t = F_g + m \cdot a = m(g+a)$

Nejprve si vypočítáme konstantní tíhovou sílu výtahu:

$F_g = m \cdot g = 1200 \, \text{kg} \cdot 10 \, \text{m/s}^2 = 12000 \, \text{N}$

Pro každý úsek nyní vypočítáme zrychlení $a$ a dosadíme ho do rovnice $F_t = m(g+a)$.

Úsek 1: Rozjezd (0-4 s)

$a_1 = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{2 - 0}{4 - 0} = 0,5 \, \text{m/s}^2$

Výtah zrychluje směrem nahoru, zrychlení je kladné.

$F_{t1} = m(g + a_1) = 1200 \cdot (10 + 0,5) = 1200 \cdot 10,5 = 12600 \, \text{N}$

Úsek 2: Rovnoměrný pohyb (4-10 s)

$a_2 = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{2 - 2}{10 - 4} = 0 \, \text{m/s}^2$

Při konstantní rychlosti je zrychlení nulové.

$F_{t2} = m(g + a_2) = 1200 \cdot (10 + 0) = 12000 \, \text{N}$

Úsek 3: Zastavování (10-12 s)

$a_3 = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{0 - 2}{12 - 10} = \frac{-2}{2} = -1 \, \text{m/s}^2$

Výtah zpomaluje, zrychlení je záporné (směřuje proti směru pohybu, tedy dolů).

$F_{t3} = m(g + a_3) = 1200 \cdot (10 + (-1)) = 1200 \cdot 9 = 10800 \, \text{N}$

Výsledky dávají fyzikální smysl:

  • Při rozjezdu vzhůru ($a > 0$) musí lano táhnout větší silou, než je tíha výtahu ($F_t > F_g$).
  • Při rovnoměrném pohybu ($a = 0$) je síla lana rovna tíze výtahu ($F_t = F_g$).
  • Při brzdění při jízdě vzhůru ($a < 0$) stačí menší síla než tíha výtahu ($F_t < F_g$), protože "brzdění" pomáhá tíhová síla.

Odpověď:
a) Během rozjezdu (0-4 s) je síla napínající lano 12 600 N.
b) Během rovnoměrné jízdy (4-10 s) je síla napínající lano 12 000 N.
c) Během zastavování (10-12 s) je síla napínající lano 10 800 N.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Jak by se změnily síly v jednotlivých úsecích, kdyby výtah jel stejným způsobem, ale směrem dolů?
  • Proč při rozjezdu výtahu vzhůru cítíme, že jsme "těžší", a při brzdění "lehčí"? Jak tento pocit souvisí se silou, kterou na nás působí podlaha výtahu?
  • Jaká by byla síla napínající lano, kdyby se lano přetrhlo? Jaké by bylo zrychlení výtahu?
  • Jak by se musel výtah pohybovat, aby síla napínající lano byla nulová, i když by lano nebylo přetržené?