50. Dvě tělesa na ledě

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Praktická aplikace fyziky v reálném světě.

Zadání úlohy

Hybnosti vektorově: Představte si, že po hokejovém kluzišti bez tření klouže kousek modelíny o hmotnosti 200 g směrem od branky k brance rychlostí 5 m/s. Vektor jeho rychlosti pak vyjádříme jako v1 = (5 m/s; 0 m/s). Druhý kousek modelíny o hmotnosti 300 g klouže naopak kolmo k prvnímu, tedy na šířku kluziště rychlostí 2 m/s. Oba kousky do sebe vrazí a slepí se a dál se pohybují společně.
a) Nakreslete si obrázek a napište ve složkách vektor rychlosti druhého kousku modelíny
b) Napište vektory hybností obou kousků před srážkou a schematicky je zakreslete.
c) Napište součet vektorů těchto hybností před srážkou a zakreslete.
d) Napište vektor hybnosti slepence po srážce
e*) Určete úhel, který svírá rychlost slepence s původní rychlostí v1

Postup řešení

Jedná se o dokonale nepružnou srážku ve dvou rozměrech. Dva kousky modelíny se spojí a pohybují se dál společně. Klíčovým principem je zákon zachování hybnosti, který platí ve vektorovém tvaru: součet vektorů hybností před srážkou se rovná vektoru hybnosti po srážce.

Zavedeme souřadnicový systém: osa x směřuje podélně kluziště (směr prvního kousku), osa y napříč kluzištěm (směr druhého kousku).

Data (v SI jednotkách):

  • Modelína 1: $m_1 = 0,2 \, \text{kg}$, $\vec{v}_1 = (5; 0) \, \text{m/s}$
  • Modelína 2: $m_2 = 0,3 \, \text{kg}$
  • Celková hmotnost: $M = m_1 + m_2 = 0,5 \, \text{kg}$

Budeme pracovat s vektorovými rovnicemi pro hybnost a rychlost.

Definice hybnosti: $\vec{p} = m \cdot \vec{v}$
Zákon zachování hybnosti: $\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = \vec{p}_{spol}$
Výpočet úhlu z vektoru: $\tan(\alpha) = \frac{p_y}{p_x}$

Postupujeme podle jednotlivých podúloh:

a) Vektor rychlosti $\vec{v}_2$: Pohybuje se kolmo k prvnímu, tedy pouze ve směru osy y.

$\vec{v}_2 = (0; v_2)$

b) Vektory hybností $\vec{p}_1, \vec{p}_2$:

$\vec{p}_1 = m_1 \cdot \vec{v}_1 \quad \text{a} \quad \vec{p}_2 = m_2 \cdot \vec{v}_2$

c) Celková hybnost před srážkou $\vec{p}_{celk}$:

$\vec{p}_{celk} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = (p_{1x} + p_{2x}; p_{1y} + p_{2y})$

d) Hybnost slepence po srážce $\vec{p}_{spol}$:

$\vec{p}_{spol} = \vec{p}_{celk}$

e) Úhel rychlosti $\alpha$: Vektor rychlosti $\vec{v}_{spol}$ má stejný směr jako vektor hybnosti $\vec{p}_{spol}$.

$\tan(\alpha) = \frac{v_{spol,y}}{v_{spol,x}} = \frac{p_{spol,y}}{p_{spol,x}}$

a) Vektor rychlosti $\vec{v}_2$:

$\vec{v}_2 = (0; 2) \, \text{m/s}$

b) Vektory hybností $\vec{p}_1, \vec{p}_2$:

$\vec{p}_1 = 0,2 \cdot (5; 0) = (1; 0) \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$
$\vec{p}_2 = 0,3 \cdot (0; 2) = (0; 0,6) \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$

c) Celková hybnost před srážkou:

$\vec{p}_{celk} = (1; 0) + (0; 0,6) = (1; 0,6) \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$

d) Hybnost slepence po srážce:

$\vec{p}_{spol} = (1; 0,6) \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$

e) Úhel rychlosti $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{0,6}{1} = 0,6 \implies \alpha = \arctan(0,6) \approx 31^\circ$

Výsledky na sebe logicky navazují. Celková hybnost je vektorovým součtem původních hybností a po srážce se zachovává. Výsledný směr pohybu je "mezi" původními směry, což odpovídá intuici.

Odpověď:
a) $\vec{v}_2 = (0; 2) \, \text{m/s}$
b) $\vec{p}_1 = (1; 0) \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$, $\vec{p}_2 = (0; 0,6) \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$
c) $\vec{p}_{celk} = (1; 0,6) \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$
d) $\vec{p}_{spol} = (1; 0,6) \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$
e) Rychlost slepence svírá s původní rychlostí $\vec{v}_1$ úhel přibližně 31°.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Vypočítejte velikost rychlosti slepence po srážce.
  • Byla při této srážce zachována kinetická energie? Ověřte výpočtem.
  • Jak by se změnil výsledný úhel, kdyby druhý kousek modelíny měl stejnou hmotnost jako první?
  • Proč je metoda rozkladu na složky pro řešení 2D srážek tak efektivní?