48. Srážka kulečníkových koulí

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Praktická aplikace fyziky v reálném světě.

Zadání úlohy

Po kolejích se pohybuje vagon o hmotnosti 5 tun rychlostí 4 m/s směrem doprava a narazí do vagonu o hmotnosti 10 tun jedoucího stejným směrem rychlostí 1 m/s. Po srážce se spojí a pohybují společně.
a) určete jejich rychlost po srážce
b) Jak by se situace změnila, kdyby se těžší vagon pohyboval proti směrem doleva rychlostí 3 m/s?
c) Jakou rychlostí by se musel těžší vagon pohybovat směrem doleva, aby se srážkou a spojením vagony zastavily na místě?
d*) Levý vagon o hmotnosti 5 tun nechť se pohybuje jako v původním zadání, tedy 4 m/s směrem doprava. Jakou hmotnost by musel mít druhý vagon (ten napravo) v případě pohybu směrem doprava rychlostí 1 m/s, aby výsledná rychlost po spojení byla 3,2 m/s?

Postup řešení

Máme zde dva vagony, které se srazí a následně se pohybují jako jeden celek. Jedná se o dokonale nepružnou srážku. Pro řešení takových úloh je klíčový zákon zachování hybnosti, který říká, že celková hybnost soustavy před srážkou je stejná jako celková hybnost po srážce.

Zvolíme si směr doprava jako kladný (+). Obě rychlosti tedy budou mít kladné znaménko.

Data:

  • Vagon 1: $m_1 = 5 \, \text{tun} = 5000 \, \text{kg}$, $v_1 = +4 \, \text{m/s}$
  • Vagon 2: $m_2 = 10 \, \text{tun} = 10000 \, \text{kg}$, $v_2 = +1 \, \text{m/s}$

Hledáme společnou rychlost po srážce $v_{spol}$.

Zákon zachování hybnosti: součet hybností obou vagonů před srážkou se rovná hybnosti spojených vagonů po srážce.

Zákon zachování hybnosti
$m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_{spol}$

Naším cílem je vypočítat společnou rychlost $v_{spol}$. Z rovnice ji vyjádříme vydělením celkovou hmotností $(m_1 + m_2)$.

$v_{spol} = \frac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{m_1 + m_2}$

Dosadíme číselné hodnoty do odvozeného vzorce.

Výpočet společné rychlosti
$v_{spol} = \frac{5000 \cdot 4 + 10000 \cdot 1}{5000 + 10000} = \frac{20000 + 10000}{15000} = \frac{30000}{15000} = 2 \, \text{m/s}$

Výsledná rychlost (2 m/s) je kladná, takže se spojené vagony pohybují doprava. Její hodnota leží mezi původními rychlostmi (mezi 1 m/s a 4 m/s), což je logický výsledek – rychlejší vagon zpomalil a pomalejší zrychlil.

Odpověď: Rychlost spojených vagonů po srážce bude 2 m/s směrem doprava.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč musí být výsledná rychlost při nepružné srážce těles pohybujících se stejným směrem vždy mezi jejich původními rychlostmi?
  • Co fyzikálně znamená, že celková hybnost soustavy je nulová?
  • Proč je důležité při algebraických úpravách správně pracovat se závorkami a znaménky?
  • Jak by se výsledek změnil v části d), kdyby výsledná rychlost měla být 2 m/s?