47. Pružná srážka různých hmot

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Praktická aplikace fyziky v reálném světě.

Zadání úlohy

Na ledě jsou dvě kostky a pohybují se bez tření. Jakou hmotnost má druhá kostka?

Postup řešení

Problém s úplností zadání: Toto zadání je neúplné - chybí informace o hmotnosti první kostky, rychlostech obou kostek před srážkou a rychlostech po srážce.

Pro ilustraci ukážeme obecné řešení pro pružnou srážku dvou těles na ledě (bez tření).

Pro pružnou srážku platí současně dva zákony:

1) Zákon zachování hybnosti:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$
2) Zákon zachování kinetické energie:
$\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1'^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2'^2$

kde indexy 1,2 značí první a druhou kostku, apostrofy (') označují rychlosti po srážce.

Z těchto dvou rovnic lze vyjádřit rychlosti po srážce:

$v_1' = \frac{(m_1 - m_2) v_1 + 2 m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
$v_2' = \frac{(m_2 - m_1) v_2 + 2 m_1 v_1}{m_1 + m_2}$

Pokud známe rychlosti a jednu hmotnost, můžeme z těchto vztahů vyjádřit druhou hmotnost.

Stejné hmotnosti ($m_1 = m_2$): Kostky si vymění rychlosti.

Druhá kostka v klidu ($v_2 = 0$):

$v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1, \quad v_2' = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_1$

Úplné řešení nelze poskytnout bez konkrétních číselných hodnot. Pro určení hmotnosti druhé kostky potřebujeme:

  • Hmotnost první kostky $m_1$
  • Rychlosti obou kostek před srážkou ($v_1$, $v_2$)
  • Rychlosti obou kostek po srážce ($v_1'$, $v_2'$)

Teprve s těmito údaji můžeme použít zákony zachování k určení $m_2$.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč potřebujeme pro pružnou srážku dva zákony zachování (hybnosti i energie)?
  • Jak se liší pružná srážka od nepružné z hlediska zachování energie?
  • Která čísla by musela být v zadání, aby šlo příklad vyřešit?
  • Co se stane při srážce lehké kostky s velmi těžkou (limitní případ $m_2 \gg m_1$)?