44. Střelba ze vzduchovky

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Praktická aplikace fyziky v reálném světě.

Zadání úlohy

Kosmonaut uvízl v prázdném prostoru a potřebuje se dostat zpět ke kosmické lodi, která se od něj nezadržitelně vzdaluje rychlostí 0,6 m/s. V zoufalství odhodil kladivo o hmotnosti 5 kg rychlostí 10,5 m/s. Zachrání se? Původní hmotnost kosmonauta s veškerým vybavením(!) byla 90 kg.

Postup řešení

Kosmonaut a jeho kladivo tvoří na začátku jeden systém, který je v klidu (vůči sobě navzájem). Když kosmonaut odhodí kladivo, působí na něj silou a kladivo působí stejně velkou, ale opačně orientovanou silou zpět na kosmonauta (zákon akce a reakce). Vzhledem k tomu, že na systém kosmonaut+kladivo nepůsobí žádné vnější síly, musí se zachovat jeho celková hybnost.

Protože byla počáteční hybnost nulová, musí být i konečná hybnost (součet hybnosti kosmonauta a kladiva) nulová. To znamená, že hybnost kosmonauta bude stejně velká, ale opačně orientovaná než hybnost kladiva.

Hodnoty ze zadání:

  • Hmotnost kladiva: $m_k = 5 \, \text{kg}$
  • Rychlost odhozeného kladiva: $v_k = 10,5 \, \text{m/s}$
  • Původní hmotnost kosmonauta s vybavením: $90 \, \text{kg}$
  • Hmotnost kosmonauta po odhození: $m_a = 90 \, \text{kg} - 5 \, \text{kg} = 85 \, \text{kg}$
  • Rychlost vzdalující se lodi: $v_{loď} = 0,6 \, \text{m/s}$

Potřebujeme vypočítat rychlost kosmonauta $v_a$ a porovnat ji s rychlostí lodi.

Klíčovým principem je zákon zachování hybnosti pro izolovanou soustavu.

Zákon zachování hybnosti
$p_{před} = p_{po}$

Před odhozením byl systém v klidu, takže $p_{před} = 0$. Po odhození je celková hybnost součtem hybnosti kosmonauta a kladiva.

$$ 0 = m_a \cdot v_a + m_k \cdot v_k $$

Naším cílem je vypočítat rychlost kosmonauta $v_a$. Z rovnice $0 = m_a \cdot v_a + m_k \cdot v_k$ si tuto neznámou vyjádříme.

$$ m_a \cdot v_a = - m_k \cdot v_k $$

Vydělením hmotností kosmonauta $m_a$ získáme finální vzorec:

$$ v_a = - \frac{m_k \cdot v_k}{m_a} $$

Záporné znaménko ve výsledku znamená, že směr pohybu kosmonauta bude přesně opačný než směr, kterým odhodil kladivo.

Dosadíme hodnoty do odvozeného vzorce. Je důležité použít hmotnost kosmonauta po odhození kladiva.

Výpočet rychlosti kosmonauta
$v_a = - \frac{5 \, \text{kg} \cdot 10,5 \, \text{m/s}}{85 \, \text{kg}} = - \frac{52,5}{85} \, \text{m/s}$

Výsledek výpočtu je:

$$ v_a \approx -0,618 \, \text{m/s} $$

Kosmonaut se po odhození kladiva pohybuje rychlostí o velikosti přibližně $0,618 \, \text{m/s}$ opačným směrem, než letí kladivo. Předpokládáme, že kladivo odhodil směrem od lodi, aby se sám pohyboval směrem k lodi.

Nyní porovnáme rychlost kosmonauta s rychlostí, kterou se od něj loď vzdaluje:

$$ 0,618 \, \text{m/s} > 0,6 \, \text{m/s} $$

Rychlost kosmonauta směrem k lodi je o něco větší než rychlost, kterou se loď vzdaluje. To znamená, že kosmonaut bude pomalu zmenšovat vzdálenost mezi sebou a lodí a nakonec ji dostihne.

Odpověď: Ano, kosmonaut se zachrání. Jeho rychlost bude o trochu vyšší než rychlost vzdalující se lodi.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Tento princip se nazývá "reaktivní pohon". Kde jinde se v technice využívá?
  • Jakou minimální rychlostí by musel kosmonaut kladivo odhodit, aby se přesně vyrovnal rychlosti lodi?
  • Proč je důležité ve jmenovateli použít hmotnost kosmonauta bez kladiva (85 kg) a ne původní (90 kg)?
  • Co by bylo pro záchranu efektivnější: odhodit jedno těžké kladivo, nebo postupně odhazovat více menších, lehčích nástrojů?