43. Nepružná srážka koulí

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Praktická aplikace fyziky v reálném světě.

Zadání úlohy

Těleso o hmotnosti 5 kg se pohybuje rychlostí 2 m/s a jiné těleso o hmotnosti 3 kg se pohybuje rychlostí 4 m/s. Určete celkovou velikost hybnosti systému v následujících případech:
a) pohybují se stejným směrem v téže přímce
b) pohybují se proti sobě v téže přímce
c) jejich rychlosti jsou vzájemně kolmé

Postup řešení

Tento příklad ukazuje klíčovou vlastnost hybnosti: je to vektorová veličina. To znamená, že kromě velikosti má i směr. Celková hybnost soustavy je dána vektorovým součtem hybností jednotlivých těles. Podle toho, jaké směry mají rychlosti těles, se bude lišit i způsob výpočtu celkové hybnosti.

Nejprve si vypočítáme velikosti hybností obou těles:

  • Těleso 1: $p_1 = m_1 \cdot v_1 = 5 \, \text{kg} \cdot 2 \, \text{m/s} = 10 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$
  • Těleso 2: $p_2 = m_2 \cdot v_2 = 3 \, \text{kg} \cdot 4 \, \text{m/s} = 12 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$

Nyní budeme tyto dvě hybnosti sčítat podle pravidel pro vektory pro tři různé případy.

Základní vztah je vektorový součet hybností. Pro každý případ se tento obecný vztah zjednoduší na specifickou rovnici pro výpočet velikosti výsledné hybnosti $p$.

Obecný vztah (vektorový součet)
$\vec{p} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2$

a) Stejný směr: Vektory leží na jedné přímce a míří stejným směrem. Jejich velikosti se jednoduše sčítají. $$ p = p_1 + p_2 $$ b) Opačný směr: Vektory leží na jedné přímce, ale míří proti sobě. Velikost výsledku je absolutní hodnota jejich rozdílu. $$ p = |p_1 - p_2| $$ c) Kolmé směry: Vektory jsou na sebe kolmé. Tvoří odvěsny pravoúhlého trojúhelníku a výsledná hybnost je jeho přepona. Velikost vypočítáme pomocí Pythagorovy věty. $$ p = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} $$

V předchozím kroku jsme si již připravili všechny potřebné vzorce pro jednotlivé případy. Nyní do nich stačí dosadit.

Dosadíme vypočtené hodnoty $p_1 = 10 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$ a $p_2 = 12 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$.

a) Stejný směr: $$ p = 10 + 12 = 22 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} $$

b) Opačný směr: $$ p = |10 - 12| = |-2| = 2 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} $$

c) Kolmé směry: $$ p = \sqrt{10^2 + 12^2} = \sqrt{100 + 144} = \sqrt{244} \approx 15,62 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} $$

Výsledky dávají smysl. Největší celková hybnost je, když se oba pohybují stejným směrem (jejich účinky se sčítají). Nejnižší je, když se pohybují proti sobě (jejich účinky se odčítají). Případ kolmého pohybu je mezi těmito dvěma extrémy.

Odpověď: Velikost celkové hybnosti systému je:
a) 22 kg·m/s, pokud se pohybují stejným směrem.
b) 2 kg·m/s, pokud se pohybují proti sobě.
c) přibližně 15,62 kg·m/s, pokud se pohybují kolmo na sebe.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Jaký by byl směr výsledné hybnosti v případě b) a c)?
  • Je celková kinetická energie soustavy v případech a), b), c) stejná, nebo se liší? Proč? (Kinetická energie je skalár!)
  • Co by se stalo s celkovou hybností soustavy, kdyby se obě tělesa po srážce spojila?
  • Jak byste vypočítali velikost celkové hybnosti, kdyby vektory rychlostí svíraly úhel 60°? (Nápověda: kosinová věta)