40. Srážka železničních vagónů

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Srážky vagónů jsou typickým příkladem nepružných srážek, při kterých se tělesa po srážce spojí. I zde platí zákon zachování hybnosti, ale kinetická energie se nezachová.

Zadání úlohy

📋 Zadání

Železniční vagón o hmotnosti 2·10⁴ kg jedoucí rychlostí 0,5 m·s⁻¹ se srazí s druhým vagónem o poloviční hmotnosti pohybující se stejným směrem rychlostí 0,4 m·s⁻¹. Vagóny se při srážce spojí.

  • a) Určete společnou rychlost jejich pohybu
  • b) Stejná tělesa se pohybují proti sobě. Určete společnou rychlost
  • c) Jaká je rychlost po srážce, jestliže se tělesa budou pohybovat navzájem kolmo?

Postup řešení

Jedná se o nepružnou srážku - tělesa se po srážce spojí a pohybují společně.

  • Vagón 1: $m_1 = 2 \times 10^4$ kg, $v_1 = 0{,}5$ m·s⁻¹
  • Vagón 2: $m_2 = \frac{1}{2}m_1 = 1 \times 10^4$ kg, $v_2 = 0{,}4$ m·s⁻¹
  • Celková hmotnost po spojení: $M = m_1 + m_2 = 3 \times 10^4$ kg
⚖️ Zákon zachování hybnosti
$m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot V$

Celková hybnost před srážkou se rovná hybnosti spojených vagónů:

🧮 Společná rychlost
$V = \frac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{m_1 + m_2}$

$V = \frac{(2 \times 10^4 \times 0{,}5) + (1 \times 10^4 \times 0{,}4)}{3 \times 10^4}$

$V = \frac{1 \times 10^4 + 0{,}4 \times 10^4}{3 \times 10^4} = \frac{1{,}4 \times 10^4}{3 \times 10^4}$

$V = 0{,}467$ m·s⁻¹

Odpověď a): Společná rychlost vagónů bude 0,47 m·s⁻¹ ve stejném směru.

Rychlost druhého vagónu považujeme za zápornou: $v_2 = -0{,}4$ m·s⁻¹

🧮 Společná rychlost
$V = \frac{(2 \times 10^4 \times 0{,}5) + (1 \times 10^4 \times (-0{,}4))}{3 \times 10^4}$

$V = \frac{1 \times 10^4 - 0{,}4 \times 10^4}{3 \times 10^4} = \frac{0{,}6 \times 10^4}{3 \times 10^4}$

$V = 0{,}2$ m·s⁻¹

Kladný výsledek znamená pohyb ve směru původního pohybu prvního (těžšího) vagónu.

Odpověď b): Společná rychlost vagónů bude 0,2 m·s⁻¹ ve směru původního pohybu prvního vagónu.

Hybnost je vektor. Pro kolmé směry použijeme Pythagorovu větu:

📐 Složky hybnosti
Hybnost v ose x: $p_x = m_1 \cdot v_1 = 2 \times 10^4 \times 0{,}5 = 1 \times 10^4$ kg·m·s⁻¹
Hybnost v ose y: $p_y = m_2 \cdot v_2 = 1 \times 10^4 \times 0{,}4 = 0{,}4 \times 10^4$ kg·m·s⁻¹
🧮 Celková hybnost
$p_{celková} = \sqrt{p_x^2 + p_y^2}$

$p_{celková} = \sqrt{(1 \times 10^4)^2 + (0{,}4 \times 10^4)^2}$

$p_{celková} = \sqrt{1 \times 10^8 + 0{,}16 \times 10^8} = \sqrt{1{,}16 \times 10^8}$

$p_{celková} = 1{,}077 \times 10^4$ kg·m·s⁻¹
✅ Rychlost spojených vagónů
$V = \frac{p_{celková}}{M} = \frac{1{,}077 \times 10^4}{3 \times 10^4} = 0{,}359$ m·s⁻¹

Odpověď c): Společná rychlost vagónů bude 0,36 m·s⁻¹ směrem úhlopříčně.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč je společná rychlost vždy menší než původní rychlosti vagónů?
  • Jak by se lišil výsledek při pružné srážce?
  • Kam se "ztratila" kinetická energie při nepružné srážce?