38. Míč dopadající na zem

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Praktická aplikace fyziky v reálném světě.

Zadání úlohy

Lionel Messi střílí penaltu rychlostí 126 km/h. Iker Casillas robinsonádou v letu chytá míč do náruče. Je v tu chvíli 1 m nad zemí a půl metru před brankovou čarou. Je šance, že bude s míčem v náručí odnesen až za brankovou čáru?

Postup řešení

Tento problém se skládá ze dvou po sobě jdoucích fyzikálních dějů:

  1. Nepružná srážka: V okamžiku, kdy brankář chytí míč, dojde ke srážce. Protože brankář a míč poté tvoří jeden celek (brankář drží míč v náručí), jedná se o tzv. dokonale nepružnou srážku. Pro takové srážky platí zákon zachování hybnosti. Ten nám umožní vypočítat, jakou společnou rychlostí se brankář s míčem začnou pohybovat těsně po chycení.
  2. Vodorovný vrh: Ihned po srážce se soustava brankář+míč pohybuje nějakou počáteční vodorovnou rychlostí a zároveň padá k zemi z výšky 1 m. Jedná se o vodorovný vrh. Musíme vypočítat, jak dlouho bude padat na zem a jakou vzdálenost za tu dobu urazí vodorovně.

Hodnoty ze zadání (převedené na jednotky SI):

  • Hmotnost míče: $m_1 = 0,43 \, \text{kg}$
  • Hmotnost brankáře: $m_2 = 80 \, \text{kg}$
  • Rychlost míče: $v_1 = 126 \, \text{km/h} = \frac{126}{3,6} \, \text{m/s} = 35 \, \text{m/s}$
  • Počáteční rychlost brankáře: $v_2 = 0 \, \text{m/s}$ (předpokládáme, že v okamžiku chycení nemá žádnou vodorovnou rychlost)
  • Výška pádu: $h = 1 \, \text{m}$
  • Vzdálenost od čáry: $s_{cíl} = 0,5 \, \text{m}$

Porovnáme vypočtenou dráhu letu $s_{let}$ se vzdáleností $s_{cíl}$.

Pro vyřešení budeme potřebovat tři klíčové rovnice:

  1. Zákon zachování hybnosti pro nepružnou srážku.
  2. Vztah pro volný pád k určení doby pádu.
  3. Vztah pro rovnoměrný přímočarý pohyb k určení vodorovné dráhy.
Zákon zachování hybnosti
$m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_{spol}$
Dráha volného pádu
$h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$
Dráha rovnoměrného pohybu
$s_{let} = v_{spol} \cdot t$

Postupujeme krok za krokem:

  1. Nejprve ze zákona zachování hybnosti vyjádříme společnou rychlost $v_{spol}$. Protože $v_2=0$, vzorec se zjednoduší: $$ v_{spol} = \frac{m_1 \cdot v_1}{m_1 + m_2} $$
  2. Poté z rovnice pro volný pád vyjádříme čas pádu $t$: $$ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} $$
  3. Nakonec tyto dva výsledky dosadíme do rovnice pro dráhu $s_{let}$: $$ s_{let} = \left( \frac{m_1 \cdot v_1}{m_1 + m_2} \right) \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} $$

Nejprve vypočítáme společnou rychlost po srážce:

1. Výpočet společné rychlosti
$v_{spol} = \frac{0,43 \, \text{kg} \cdot 35 \, \text{m/s}}{0,43 \, \text{kg} + 80 \, \text{kg}} = \frac{15,05}{80,43} \approx 0,187 \, \text{m/s}$

Dále vypočítáme dobu pádu z výšky 1 m (použijeme $g \approx 10 \, \text{m/s}^2$):

2. Výpočet doby pádu
$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 1 \, \text{m}}{10 \, \text{m/s}^2}} = \sqrt{0,2} \approx 0,45 \, \text{s}$

Nakonec vypočítáme dráhu, kterou za tuto dobu brankář urazí:

3. Výpočet vodorovné dráhy
$s_{let} = 0,187 \, \text{m/s} \cdot 0,45 \, \text{s} \approx 0,084 \, \text{m} = 8,4 \, \text{cm}$

Porovnáme vypočtenou dráhu s potřebnou vzdáleností pro překročení brankové čáry:

$$ 8,4 \, \text{cm} < 50 \, \text{cm} $$

Vypočtená dráha je výrazně menší než vzdálenost k brankové čáře. Z toho plyne, že brankář s míčem za čáru nedoletí. Hlavním důvodem je obrovský rozdíl v hmotnosti mezi míčem a brankářem, kvůli kterému je společná rychlost po srážce velmi malá.

Odpověď: Není žádná šance, že by brankář byl s míčem odnesen až za brankovou čáru. Posune se pouze o přibližně 8,4 cm.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč můžeme při řešení srážky použít zákon zachování hybnosti, i když na soustavu působí vnější síla (gravitace)?
  • Co je hlavním důvodem tak malého posunutí brankáře? Rychlost míče, hmotnost míče, nebo hmotnost brankáře? Jak by se výsledek změnil, kdyby brankář vážil jen 40 kg?
  • Jak by se situace změnila, kdyby brankář chytal míč ve stoje na kluzkém ledu (bez tření)? Byl by výsledný posun větší, nebo menší?
  • Ve filmech často vidíme, jak je postava po zásahu kulkou odhozena o několik metrů dozadu. Je to na základě tohoto výpočtu fyzikálně reálné?