37. Střela zasáhne prkno

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Praktická aplikace fyziky v reálném světě.

Zadání úlohy

Jakou průměrnou silou působí baseballová pálka na míček, pokud profesionálové nadhazují rychlostí 140 km/h, odpálený míček má rychlost 150 km/h, a kontakt pálky a míčku trvá asi 2 ms? Potřebné hodnoty si dohledejte.

Postup řešení

Jedná se o klasický příklad srážky, kde na těleso (míček) působí po velmi krátkou dobu velmi velká síla. Naším úkolem je určit průměrnou velikost této síly. K tomu využijeme koncept impulsu síly a změny hybnosti.

Nejprve si musíme dohledat a převést všechny hodnoty na základní jednotky SI:

  • Hmotnost baseballového míčku: $m = 145 \, \text{g} = 0,145 \, \text{kg}$
  • Doba kontaktu: $t = 2 \, \text{ms} = 0,002 \, \text{s}$
  • Rychlost nadhozu: $v_1 = 140 \, \text{km/h} = \frac{140}{3,6} \, \text{m/s} \approx 38,89 \, \text{m/s}$
  • Rychlost odpalu: $v_2 = 150 \, \text{km/h} = \frac{150}{3,6} \, \text{m/s} \approx 41,67 \, \text{m/s}$

Klíčová úvaha – změna rychlosti: Rychlost je vektorová veličina, záleží tedy na jejím směru. Musíme si zvolit jeden směr jako kladný. Zvolme směr odletu míčku od pálky jako kladný.

  • Rychlost odletu je tedy $v_2 = +41,67 \, \text{m/s}$.
  • Rychlost příletu $v_1$ má opačný směr, proto jí musíme přiřadit záporné znaménko: $v_1 = -38,89 \, \text{m/s}$.

Změna rychlosti $\Delta v$ je definována jako "konečná rychlost mínus počáteční rychlost":

$$ \Delta v = v_2 - v_1 = (+41,67) - (-38,89) = 41,67 + 38,89 = 80,56 \, \text{m/s} $$

Celková změna rychlosti je tedy součtem velikostí obou rychlostí, protože míček musel nejprve úplně zastavit a poté zrychlit v opačném směru.

Stejně jako v předchozím příkladu, i zde je nejvhodnějším nástrojem věta o impulsu a změně hybnosti. Ta říká, že impuls síly, který na míček působí, je roven celkové změně hybnosti míčku.

Věta o impulsu a změně hybnosti
$F \cdot t = m \cdot \Delta v$

V tomto vztahu je $F$ průměrná síla, protože skutečná síla během kontaktu není konstantní (roste z nuly na maximum a pak opět klesá).

Naším cílem je vypočítat průměrnou sílu $F$. Z výše uvedené rovnice ji získáme jednoduchou úpravou – vydělením obou stran rovnice časem $t$.

Finální vzorec pro výpočet síly je:

$$ F = \frac{m \cdot \Delta v}{t} $$

Nyní dosadíme všechny hodnoty, které jsme si připravili v prvním kroku, do odvozeného vzorce.

Výpočet průměrné síly
$F = \frac{0,145 \, \text{kg} \cdot 80,56 \, \text{m/s}}{0,002 \, \text{s}} = \frac{11,6812}{0,002} \, \text{N}$

Výsledná síla je:

$$ F \approx 5840,6 \, \text{N} \approx 5,84 \, \text{kN} $$

Zkontrolujme jednotky: $\frac{\text{kg} \cdot (\text{m/s})}{\text{s}} = \frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}^2} = \text{N}$. Jednotka síly je správná. Velikost síly téměř 6 kN odpovídá tíze tělesa o hmotnosti 584 kg. To je obrovská síla, ale vzhledem k extrémně krátké době kontaktu a velké změně rychlosti je to reálná hodnota.

Odpověď: Baseballová pálka působí na míček průměrnou silou přibližně 5840 N (tedy 5,84 kN).

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč v zadání mluvíme o "průměrné" síle? Jak by vypadal skutečný průběh síly během těch 2 milisekund?
  • Jak by se změnila potřebná síla, kdyby byl míček vyroben z dokonale nepružného materiálu a po odpalu by pouze spadl na zem s nulovou rychlostí?
  • Proč hráči při odpalu "protáhnou" úder (tzv. "follow-through")? Mohlo by to souviset s prodloužením doby kontaktu $t$?
  • Při srážce působí míček na pálku stejně velkou, ale opačně orientovanou silou (akce a reakce). Proč pálka neodletí hráči z ruky?