34. Síla působící na chlapce

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Praktická aplikace fyziky v reálném světě.

Zadání úlohy

Určete velikost zrychlení soustav spojených vláknem znázorněných na obrázku. Tření neuvažujeme, kladky jsou oproti závažím velice lehké.

Postup řešení

Máme dvě samostatné soustavy se závažími (tzv. Atwoodovy stroje), které jsou navzájem propojeny nepružným vláknem. Klíčový poznatek je, že díky tomuto spojení se obě soustavy musí pohybovat jako jeden celek. To znamená, že všechny jejich části mají stejnou rychlost a především stejné zrychlení $a$.

Naším úkolem je určit toto společné zrychlení. Můžeme se na celou soustavu dívat jako na jediný systém, který je poháněn některými silami a brzděn jinými.

Pohybové (hnací) síly: Tíhové síly těžších závaží, která táhnou systém dolů. To jsou závaží o hmotnostech 2 kg a 3 kg. Jejich tíhové síly jsou $F_{g1} = 20 \, \text{N}$ a $F_{g2} = 30 \, \text{N}$.
Brzdné síly: Tíhové síly lehčích závaží, která jsou vytahována nahoru. V obou případech se jedná o závaží 1 kg, jejichž tíhové síly jsou $F_{g3} = 10 \, \text{N}$ a $F_{g4} = 10 \, \text{N}$.
Celková hmotnost: Aby se systém rozhýbal, musí hnací síla urychlit hmotnost všech zúčastněných závaží. Celková hmotnost je součet hmotností obou soustav: $m_{celk} = m_{levá} + m_{pravá} = 3 \, \text{kg} + 6 \, \text{kg} = 9 \, \text{kg}$.

Protože se na celou soustavu díváme jako na jeden pohybující se objekt, můžeme použít druhý Newtonův zákon v jeho základní podobě. Ten říká, že výsledná vnější síla působící na systém je rovna součinu celkové hmotnosti systému a jeho zrychlení.

Druhý Newtonův zákon pro soustavu

$F_{vysl} = m_{celk} \cdot a$

Výslednou sílu $F_{vysl}$ určíme jako rozdíl mezi součtem všech hnacích sil a součtem všech brzdných sil.

Naším cílem je najít zrychlení $a$. Z druhého Newtonova zákona si jej jednoduše vyjádříme:

$$ a = \frac{F_{vysl}}{m_{celk}} $$

Nyní si rozepíšeme, z čeho se skládá výsledná síla a celková hmotnost, jak jsme si analyzovali v prvním kroku:

$F_{vysl} = (\text{součet hnacích sil}) - (\text{součet brzdných sil})$
$m_{celk} = m_{levá} + m_{pravá}$

Spojením získáme kompletní vzorec pro výpočet:

$$ a = \frac{(F_{g1} + F_{g2}) - (F_{g3} + F_{g4})}{m_{levá} + m_{pravá}} $$

Nyní dosadíme konkrétní hodnoty ze zadání do našeho odvozeného vzorce.

Výpočet zrychlení

$a = \frac{(20 \, \text{N} + 30 \, \text{N}) - (10 \, \text{N} + 10 \, \text{N})}{3 \, \text{kg} + 6 \, \text{kg}} = \frac{50 \, \text{N} - 20 \, \text{N}}{9 \, \text{kg}} = \frac{30 \, \text{N}}{9 \, \text{kg}}$

Výsledek zjednodušíme a převedeme na desetinné číslo:

$$ a = \frac{10}{3} \, \text{m/s}^2 \approx 3,33 \, \text{m/s}^2 $$

Zkontrolujme jednotky: $\frac{\text{N}}{\text{kg}} = \frac{\text{kg} \cdot \text{m/s}^2}{\text{kg}} = \text{m/s}^2$. Jednotky jsou správně. Výsledné zrychlení je menší než tíhové zrychlení $g$ (cca $10 \, \text{m/s}^2$), což dává smysl, protože systém není ve volném pádu, ale je brzděn lehčími závažími.

Odpověď: Velikost zrychlení celé spojené soustavy (a tedy i každé její části) je přibližně 3,33 m/s².

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:

Identifikovali jsme klíčové veličiny
Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
Ověřili jsme jednotky a řády velikosti

Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.

🤔 Metakognitivní otázky

Proč jsme při výpočtu nemuseli vůbec uvažovat síly napětí ve vláknech? Jakou roli v systému hrají?
Jak by se zrychlení změnilo, kdybychom přestřihli vlákno spojující obě soustavy? Vypočítejte zrychlení pro každou soustavu zvlášť.
Proč do jmenovatele (celková hmotnost) musíme zahrnout i hmotnost závaží, která jsou zvedána nahoru a systém "brzdí"?
Představte si, že pravá soustava by byla nahrazena závažím o hmotnosti 9 kg zavěšeným přes kladku. Jaké by bylo zrychlení levé soustavy (3 kg) v takovém případě?