33. Rychlobruslařka 60 kg

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Praktická aplikace fyziky v reálném světě.

Zadání úlohy

Hornice Adriana roztlačovala důlní vozík na vodorovných kolejích. Nejdříve působila silou 50 N, čímž byla schopna udržovat vozík v rovnoměrném pohybu neměnnou rychlostí 5 km/h. Pak ale přitlačila a působila silou 200 N. Během půl minuty vozík roztlačila na závratnou rychlost běhu 15 km/h. Jaká byla hmotnost vozíku? [inspirace realisticky]

Postup řešení

Tato úloha se skládá ze dvou odlišných fází pohybu. Je klíčové je správně pochopit.

  1. Fáze rovnoměrného pohybu: Adriana tlačí silou $F_{tah1} = 50 \, \text{N}$ a vozík se pohybuje konstantní rychlostí. To znamená, že zrychlení je nulové. Podle Newtonových zákonů musí být i výsledná síla nulová. Z toho plyne, že síla, kterou Adriana tlačí, je přesně stejně velká jako součet všech odporových sil (tření). Tímto zjištěním získáme velikost třecí síly: $F_{tření} = 50 \, \text{N}$.
  2. Fáze zrychleného pohybu: Adriana zvýší sílu na $F_{tah2} = 200 \, \text{N}$. Odporová síla zůstává (předpokládáme) stejná, $F_{tření} = 50 \, \text{N}$. Rozdíl těchto sil způsobí zrychlení vozíku.

Hodnoty pro fázi zrychlování (převedené na jednotky SI):

  • Počáteční rychlost: $v_0 = 5 \, \text{km/h} = \frac{5}{3,6} \, \text{m/s}$
  • Konečná rychlost: $v = 15 \, \text{km/h} = \frac{15}{3,6} \, \text{m/s}$
  • Čas zrychlování: $t = 0,5 \, \text{min} = 30 \, \text{s}$
  • Výsledná síla: $F_{vysl} = F_{tah2} - F_{tření} = 200 \, \text{N} - 50 \, \text{N} = 150 \, \text{N}$

Hledáme hmotnost vozíku $m$.

K výpočtu hmotnosti budeme potřebovat zkombinovat dva fyzikální vztahy:

  1. Definici zrychlení, která nám umožní z údajů o změně rychlosti a času vypočítat zrychlení vozíku.
  2. Druhý Newtonův zákon, který propojuje výslednou sílu, zrychlení a hledanou hmotnost.
Definice zrychlení
$a = \frac{\Delta v}{t} = \frac{v - v_0}{t}$
Druhý Newtonův zákon
$F_{vysl} = m \cdot a$

Naším cílem je vypočítat hmotnost $m$. Z druhého Newtonova zákona si ji můžeme vyjádřit:

$$ m = \frac{F_{vysl}}{a} $$

Výslednou sílu $F_{vysl}$ jsme již určili ($150 \, \text{N}$), ale zrychlení $a$ musíme nejprve vypočítat ze změny rychlosti. Dosadíme tedy vztah pro zrychlení do rovnice pro hmotnost:

$$ m = \frac{F_{vysl}}{\frac{v - v_0}{t}} $$

Úpravou složeného zlomku získáme finální vzorec, který obsahuje všechny známé veličiny:

$$ m = \frac{F_{vysl} \cdot t}{v - v_0} $$

Nyní dosadíme číselné hodnoty do odvozeného vzorce. Změna rychlosti je $v - v_0 = 10 \, \text{km/h}$, což je $\frac{10}{3,6} \, \text{m/s}$.

Výpočet hmotnosti
$m = \frac{(200 \, \text{N} - 50 \, \text{N}) \cdot 30 \, \text{s}}{15 \, \text{km/h} - 5 \, \text{km/h}} = \frac{150 \cdot 30}{\frac{10}{3,6}} = \frac{4500}{\frac{10}{3,6}} = \frac{4500 \cdot 3,6}{10}$

Pokračujeme ve výpočtu:

$$ m = 450 \cdot 3,6 = 1620 \, \text{kg} $$

Zkontrolujme jednotky: $\frac{\text{N} \cdot \text{s}}{\text{m/s}} = \frac{\text{N} \cdot \text{s}^2}{\text{m}} = \frac{(\text{kg} \cdot \text{m/s}^2) \cdot \text{s}^2}{\text{m}} = \text{kg}$. Jednotky jsou v pořádku. Hmotnost 1620 kg (přes 1,6 tuny) je pro důlní vozík reálná hodnota.

Odpověď: Hmotnost důlního vozíku byla 1620 kg.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč byla první část zadání (o udržování konstantní rychlosti silou 50 N) pro vyřešení úlohy naprosto klíčová?
  • V zadání není uvedena hmotnost hornice Adriany. Proč tuto informaci k výpočtu nepotřebujeme?
  • Předpokládali jsme, že třecí síla 50 N je konstantní. Je to realistické, když se rychlost vozíku ztrojnásobila? Jak se obvykle mění odpor vzduchu s rychlostí?
  • Co by se stalo, kdyby Adriana po dosažení rychlosti 15 km/h opět začala tlačit jen silou 50 N? Jak by se vozík pohyboval dál?