32. Dvě tělesa na provázku

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Praktická aplikace fyziky v reálném světě.

Zadání úlohy

Markovi došel benzín. Jal se proto roztlačovat auto silou 300 N. Auto má docela dobře promazané a pneumatiky nafouknuté, takže třecí a odporová síla mají dohromady velikost 100 N. Auto má hmotnost 1,4 tuny. Jak dlouho bude trvat, než auto roztlačí na rychlost 12 km/h (na rovině), tedy rychlost klusu? [inspirace realisticky]

Postup řešení

Nejprve si rozebereme, co se v úloze děje. Marek tlačí auto, které je na rovině a zpočátku v klidu ($v_0 = 0$). Na auto působí Markova síla dopředu a odporové síly dozadu. Protože síla dopředu je větší než síla dozadu, auto bude zrychlovat. Naším úkolem je zjistit, za jak dlouho dosáhne dané rychlosti.

Hodnoty ze zadání (převedené na jednotky SI):

  • Síla Marka: $F_{tah} = 300 \, \text{N}$
  • Odporová síla: $F_{odpor} = 100 \, \text{N}$
  • Hmotnost auta: $m = 1,4 \, \text{t} = 1400 \, \text{kg}$
  • Cílová rychlost: $v = 12 \, \text{km/h} = \frac{12}{3,6} \, \text{m/s} = \frac{10}{3} \, \text{m/s} \approx 3,33 \, \text{m/s}$

Hledáme čas $t$.

Pro vyřešení úlohy budeme potřebovat dva základní fyzikální principy:

  1. Druhý Newtonův zákon, který spojuje výslednou sílu, hmotnost a zrychlení. To nám umožní vypočítat, jak rychle bude auto zrychlovat.
  2. Vztah pro rovnoměrně zrychlený pohyb, který dává do souvislosti zrychlení, rychlost a čas.
Druhý Newtonův zákon
$F_{vysl} = m \cdot a$
Rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu
$v = a \cdot t$

Naším cílem je najít čas $t$. Z rovnice pro rychlost si můžeme čas vyjádřit jako $t = \frac{v}{a}$. Zrychlení $a$ ale neznáme. To získáme z Newtonova zákona.

Výsledná síla $F_{vysl}$ je rozdíl mezi Markovou silou a odporem: $F_{vysl} = F_{tah} - F_{odpor}$. Dosazením do Newtonova zákona získáme: $F_{tah} - F_{odpor} = m \cdot a$. Odtud si vyjádříme zrychlení:

$$ a = \frac{F_{tah} - F_{odpor}}{m} $$

Nyní tento výraz pro zrychlení $a$ dosadíme do vzorce pro čas $t$:

$$ t = \frac{v}{a} = \frac{v}{\frac{F_{tah} - F_{odpor}}{m}} = \frac{v \cdot m}{F_{tah} - F_{odpor}} $$

Získali jsme finální vzorec pro výpočet času.

Nyní dosadíme číselné hodnoty do odvozeného vzorce. Pro přesnější výsledek použijeme pro rychlost zlomek $\frac{10}{3} \, \text{m/s}$.

Výpočet času
$t = \frac{\frac{10}{3} \, \text{m/s} \cdot 1400 \, \text{kg}}{300 \, \text{N} - 100 \, \text{N}} = \frac{\frac{14000}{3}}{200} = \frac{14000}{3 \cdot 200} = \frac{140}{6} = \frac{70}{3} \, \text{s}$

Výsledek převedeme na desetinné číslo:

$$ t \approx 23,33 \, \text{s} $$

Zkontrolujme jednotky: $\frac{(\text{m/s}) \cdot \text{kg}}{\text{N}} = \frac{(\text{m/s}) \cdot \text{kg}}{\text{kg} \cdot \text{m/s}^2} = \frac{1}{1/\text{s}} = \text{s}$. Jednotky vycházejí správně. Výsledek 23 sekund se zdá být reálný pro roztlačení auta na rychlost chůze. Není to ani příliš krátký, ani příliš dlouhý čas.

Odpověď: Markovi bude trvat přibližně 23,3 sekundy, než auto roztlačí na rychlost 12 km/h.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč je v reálném světě nejtěžší auto uvést do pohybu z klidu, i když to úloha neřeší? (Nápověda: rozdíl mezi statickým a smykovým třením)
  • Jak by se změnil výsledek, kdyby Marek tlačil auto do mírného kopce se sklonem 2 %? Která další síla by do výpočtu vstoupila?
  • Předpokládali jsme, že odporová síla 100 N je po celou dobu stejná. Je tento předpoklad realistický? Jak se odpor vzduchu mění s rychlostí?
  • Jakou dráhu by Marek s autem za těchto 23,3 sekundy urazil?