24. Tažení na nakloněné rovině

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Praktická aplikace fyziky v reálném světě.

Zadání úlohy

Adam má pro strach uděláno a nebojí se auto zaparkovat i na velmi prudkém svahu. Navíc se tím vždy všem okolo chlubí. Pokud koeficient statického tření mezi silnicí a pneumatikou je 0,6, jaký maximální sklon může mít svah, aniž by auto začalo klouzat dolů? Vyjádřete nejprve obecně a pak až pro konkrétní zadanou hodnotu.

Postup řešení

Auto parkuje na svahu a nesmí začít klouzat. Jedná se tedy o statickou situaci. Na auto působí ve směru svahu dvě hlavní síly:

  • Pohybová složka tíhové síly $F_p$: Táhne auto dolů po svahu. Její velikost je $F_p = mg \sin \alpha$.
  • Statická třecí síla $F_{ts}$: Působí proti tendenci pohybu, tedy nahoru po svahu. Brání autu v rozjetí.

Aby auto stálo na místě, musí být tyto dvě síly v rovnováze: $F_p = F_{ts}$. Statická třecí síla však nemůže být libovolně velká. Její maximální velikost je $F_{ts,max} = f_s \cdot F_n = f_s mg \cos \alpha$, kde $f_s$ je koeficient statického tření.

Auto začne klouzat v okamžiku, kdy síla táhnoucí ho dolů ($F_p$) přesáhne maximální možnou statickou třecí sílu ($F_{ts,max}$). Hraniční, tedy maximální možný úhel $\alpha_{max}$, nastává, když se tyto dvě síly právě rovnají:

📐 Rovnováha na hranici
$F_p = F_{ts,max}$

Dosadíme do rovnice známé vztahy:

📐 Dosazení
$mg \sin \alpha_{max} = f_s \cdot mg \cos \alpha_{max}$

Jak vidíme, hmotnost auta $m$ i tíhové zrychlení $g$ se z rovnice vykrátí. Maximální úhel svahu, na kterém auto udrží tření, tedy nezávisí na jeho hmotnosti.

📐 Vykrácení
$\sin \alpha_{max} = f_s \cdot \cos \alpha_{max}$

Rovnici upravíme tak, že ji celou vydělíme výrazem $\cos \alpha_{max}$:

📐 Úprava
$\frac{\sin \alpha_{max}}{\cos \alpha_{max}} = f_s$

Z goniometrie víme, že podíl $\sin x / \cos x$ je roven funkci tangens. Tím získáme velmi elegantní a jednoduchý výsledek:

📐 Tangens úhlu
$\tan \alpha_{max} = f_s$

Nyní stačí dosadit hodnotu koeficientu statického tření $f_s = 0{,}6$ a vypočítat úhel pomocí funkce arkus tangens (inverzní tangens).

📐 Výpočet úhlu
$\alpha_{max} = \arctan(0{,}6) \approx 31°$

Odpověď: Maximální sklon svahu, na kterém může Adam bezpečně zaparkovat (aniž by auto začalo klouzat čistě vlivem gravitace), je přibližně 31°. Pokud by byl svah strmější, složka tíhové síly by byla větší než maximální statická třecí síla a auto by se dalo do pohybu. Tento výsledek platí pro jakkoli těžké auto, pokud má pneumatiky se stejným koeficientem tření.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč v tomto případě nezáleží na hmotnosti auta? Vysvětlete to nejen matematicky, ale i slovně.
  • Koeficient smykového tření (když už se auto pohybuje) je obvykle nižší než statického. Co to znamená pro auto, které se už jednou utrhlo a začalo klouzat?
  • Jak by déšť nebo led na silnici ovlivnil maximální bezpečný úhel parkování?
  • Kromě tření pneumatik, jaké další mechanismy brání zaparkovanému autu v pohybu na svahu?