23. Auto na kopci 15°

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Praktická aplikace fyziky v reálném světě.

Zadání úlohy

Představte si, že jste na sjezdových lyžích a rychlostí 10 m/s vjíždíte do protisvahu o sklonu 20°.  Koeficient tření mezi lyžemi a sněhem budiž roven 0,1. Odpor vzduchu velkoryse zanedbáme.
a) Nakreslete rozbor sil, vyznačte výslednici sil působících na lyžaře
b) Určete, jakou vzdálenost na protisvahu urazíte, než zastavíte.
c) Určete množství tepla, které vzniklo v důsledku tření.

Postup řešení

Lyžař vjíždí do protisvahu o sklonu $\alpha = 20°$ s počáteční rychlostí $v_0 = 10~\text{m/s}$. Jeho pohyb je rovnoměrně zpomalený, protože proti směru pohybu (nahoru po svahu) působí dvě síly:

  • Pohybová složka tíhové síly $F_p$: Táhne lyžaře dolů po svahu. Její velikost je $F_p = mg \sin \alpha$.
  • Třecí síla $F_t$: Působí proti pohybu, tedy také dolů po svahu. Její velikost je $F_t = f \cdot F_n = f mg \cos \alpha$.

Celková brzdná síla $F_{brzd}$ je součtem těchto dvou sil. Tato síla způsobuje zpomalení $a$.

📐 Celková brzdná síla
$F_{brzd} = F_p + F_t$

Podle druhého Newtonova zákona $F = ma$. V našem případě je výsledná (brzdná) síla:

📐 Newtonův zákon
$m \cdot a = mg \sin \alpha + f mg \cos \alpha$

Hmotnost lyžaře $m$ se vykrátí. Zpomalení tedy nezávisí na tom, jak je lyžař těžký.

📐 Zpomalení
$a = g(\sin \alpha + f \cos \alpha)$

Dosadíme hodnoty ($g \approx 10~\text{m/s}^2$, $\sin 20° \approx 0{,}342$, $\cos 20° \approx 0{,}940$):

📐 Výpočet
$a = 10 \cdot (0{,}342 + 0{,}1 \cdot 0{,}940) = 10 \cdot 0{,}436 = 4{,}36~\text{m/s}^2$

Velikost zpomalení je 4,36 m/s².

Pro výpočet dráhy rovnoměrně zpomaleného pohybu až do zastavení (konečná rychlost $v=0$) použijeme vztah, který neobsahuje čas:

📐 Brzdná dráha
$s = \frac{v_0^2}{2a}$
📐 Výpočet
$s = \frac{(10~\text{m/s})^2}{2 \cdot 4{,}36~\text{m/s}^2} = \frac{100}{8{,}72}~\text{m} \approx 11{,}5~\text{m}$

Odpověď b): Lyžař urazí přibližně 11,5 metru, než zastaví.

Teplo $Q$ vzniklé třením je rovno práci, kterou vykonala třecí síla $W_t$ po dráze $s$.

📐 Práce třecí síly
$Q = W_t = F_t \cdot s$

Dosadíme za třecí sílu $F_t = f \cdot F_n = f mg \cos \alpha$:

📐 Teplo z tření
$Q = f \cdot mg \cdot \cos \alpha \cdot s$

Protože neznáme hmotnost lyžaře $m$, nemůžeme vypočítat konkrétní číselnou hodnotu. Můžeme pouze konstatovat, že množství tepla je přímo úměrné hmotnosti lyžaře.

Odpověď c): Množství tepla, které vznikne třením, je dáno vztahem $Q = f \cdot mg \cos \alpha \cdot s$.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Jaký je nejjednodušší způsob řešení této úlohy? (Nápověda: Zákon zachování energie.)
  • Poté, co lyžař zastaví, začne klouzat zpět dolů? Zdůvodněte porovnáním sil.
  • Jak by se změnila brzdná dráha, kdyby lyžař jel dvojnásobnou rychlostí (20 m/s)?
  • Proč je zpomalení při jízdě do kopce větší než zrychlení při sjezdu z kopce se stejným sklonem a třením?