22. Pohyb na nakloněné rovině

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Praktická aplikace fyziky v reálném světě.

Zadání úlohy

Lucka táhne sáňky se Zdeňkem po svahu o sklonu 30° směrem nahoru. Sáňky mají hmotnost 10 kg a Zdeněk váží 30 kg. Koeficient smykového tření mezi sněhem a sáňkami budiž 0,2.
a) Nakreslete přehledný nákres, vyznačte všechny síly působící NA SÁŇKY a vyznačte jejich výslednici (znázorněte i správně velikosti sil).
b) Určete, jakou silou Lucka musí táhnout, aby táhla sáňky rovnoměrně.
c) Jaké by bylo zrychlení sáněk, kdyby je pustila dolů svahem?
d) Jakou dráhu by v takovém případě sáňky urazili za 3 sekundy?

Postup řešení

Máme sáňky se Zdeňkem na svahu se sklonem $\alpha = 30°$. Celková hmotnost je $m = m_{sáněk} + m_{Zdeňka} = 10~\text{kg} + 30~\text{kg} = 40~\text{kg}$. Na sáňky působí několik sil, které je klíčové správně identifikovat a rozložit do směrů rovnoběžného a kolmého ke svahu.

  • Tíhová síla $F_g$: Působí svisle dolů. Velikost $F_g = m \cdot g$. Tuto sílu rozložíme na dvě složky:
    • Pohybová složka $F_p$: Působí rovnoběžně se svahem směrem dolů. Velikost $F_p = F_g \sin \alpha = mg \sin \alpha$.
    • Normálová (tlaková) složka $F_k$: Působí kolmo na svah. Velikost $F_k = F_g \cos \alpha = mg \cos \alpha$.
  • Normálová síla $F_n$: Reakce svahu na sáňky, působí kolmo na svah směrem nahoru. Je v rovnováze s $F_k$, takže $F_n = F_k = mg \cos \alpha$.
  • Třecí síla $F_t$: Působí vždy proti směru pohybu, rovnoběžně se svahem. Velikost $F_t = f \cdot F_n = f mg \cos \alpha$.
  • Tažná síla $F_{tah}$: Síla, kterou Lucka táhne sáňky. Působí rovnoběžně se svahem směrem nahoru.

"Rovnoměrný pohyb" znamená, že zrychlení je nulové ($a=0$). Podle Newtonových zákonů musí být výslednice sil ve směru pohybu nulová. Síly táhnoucí nahoru se musí rovnat silám táhnoucím dolů.

📐 Rovnováha sil
$F_{tah} = F_p + F_t$

Lucka musí překonat jak složku tíhové síly, která táhne sáňky dolů ($F_p$), tak tření ($F_t$), které také působí proti pohybu nahoru. Dosadíme vztahy pro síly:

📐 Tažná síla
$F_{tah} = mg \sin \alpha + f mg \cos \alpha = mg(\sin \alpha + f \cos \alpha)$

Nyní dosadíme hodnoty ($g \approx 10~\text{m/s}^2$, $\sin 30° = 0{,}5$, $\cos 30° \approx 0{,}866$):

📐 Výpočet
$F_{tah} = 40 \cdot 10 \cdot (0{,}5 + 0{,}2 \cdot 0{,}866) = 400 \cdot 0{,}6732 \approx 269~\text{N}$

Odpověď b): Pro rovnoměrný pohyb nahoru musí Lucka táhnout silou přibližně 269 N.

Při sjezdu dolů Lucka sáňky netáhne ($F_{tah}=0$). Pohyb způsobuje tíhová složka $F_p$ (směrem dolů), zatímco třecí síla $F_t$ působí proti pohybu (tedy směrem nahoru). Výsledná síla $F_{vysl}$ je jejich rozdíl.

📐 Výsledná síla
$m \cdot a = mg \sin \alpha - f mg \cos \alpha$

Hmotnost $m$ se opět vykrátí. Vzorec pro zrychlení při sjezdu je:

📐 Zrychlení při sjezdu
$a = g(\sin \alpha - f \cos \alpha)$
📐 Výpočet
$a = 10 \cdot (0{,}5 - 0{,}2 \cdot 0{,}866) = 10 \cdot 0{,}3268 \approx 3{,}27~\text{m/s}^2$

Odpověď c): Zrychlení sáněk při sjezdu by bylo přibližně 3,27 m/s².

Sáňky se rozjíždějí z klidu ($v_0=0$) a pohybují se rovnoměrně zrychleně se zrychlením $a$ vypočteným v předchozím kroku. Pro dráhu takového pohybu platí:

📐 Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu
$s = \frac{1}{2} a t^2$
📐 Výpočet
$s = \frac{1}{2} \cdot 3{,}27 \cdot 9 \approx 14{,}7~\text{m}$

Odpověď d): Za 3 sekundy by sáňky ujely přibližně 14,7 metru.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč je síla potřebná k tažení nahoru (269 N) výrazně větší než jen tíhová složka sáněk (cca 200 N)?
  • Co by se stalo, kdyby byl koeficient tření větší, například 0,6? Sjížděly by sáňky vůbec samy dolů?
  • Jak by se změnila potřebná tažná síla, kdyby Lucka táhla provaz šikmo nahoru pod úhlem 15° vůči svahu?
  • Jakou maximální rychlost by sáňky měly na konci 14,7 m dlouhého sjezdu?