21. Ložisko na nakloněné rovině

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Praktická aplikace fyziky v reálném světě.

Zadání úlohy

Mějme rampu ve tvaru pravoúhlého trojúhelníka ležícího na delší odvěsně o délce 5 m. Výška rampy je 2 m. Na rampě je vozík, který se pohybuje bez tření.
a) Nakreslete přehledný obrázek a vyznačte všechny síly, které působí NA VOZÍK, včetně jejich poměrných velikostí.
b) Určete zrychlení vozíku.
c) Za jak dlouho vozík sjede celou délku rampy?

Postup řešení

Než začneme s fyzikou, musíme si ujasnit geometrii situace. Rampa tvoří pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami o délkách $b = 5~\text{m}$ (vodorovná) a $v = 2~\text{m}$ (svislá).

a) Délka rampy (přepona): Vozík sjíždí po přeponě trojúhelníku. Její délku, kterou označíme jako dráhu $s$, vypočítáme pomocí Pythagorovy věty:

📐 Pythagorova věta
$s = \sqrt{b^2 + v^2} = \sqrt{(5~\text{m})^2 + (2~\text{m})^2} = \sqrt{29}~\text{m} \approx 5{,}39~\text{m}$

b) Úhel sklonu rampy $\alpha$: Pro rozklad sil budeme potřebovat goniometrické funkce úhlu $\alpha$, který svírá rampa s vodorovnou rovinou. Není nutné počítat úhel ve stupních, stačí nám znát hodnotu jeho sinu, což je poměr protilehlé odvěsny (výšky) ku přeponě:

📐 Sinus úhlu sklonu
$\sin(\alpha) = \frac{\text{protilehlá}}{\text{přepona}} = \frac{v}{s} = \frac{2}{\sqrt{29}}$

Nyní analyzujme síly působící na vozík. Jelikož je pohyb bez tření, působí na něj pouze dvě síly. Toto je zároveň odpověď na otázku a):

  • Tíhová síla $F_g$: Působí vždy svisle dolů. Její velikost je $F_g = m \cdot g$.
  • Normálová síla $F_n$: Je to reakce podložky (rampy) na tíhu vozíku. Působí vždy kolmo na povrch rampy směrem ven.

Abychom mohli určit pohybovou rovnici, je praktické rozložit tíhovou sílu $F_g$ na dvě na sebe kolmé složky:

  • Pohybová složka $F_p$: Je rovnoběžná s rampou a "táhne" vozík dolů. Její velikost je $F_p = F_g \cdot \sin(\alpha)$.
  • Normálová složka $F_k$: Je kolmá na rampu a tlačí vozík do podložky. Její velikost je $F_k = F_g \cdot \cos(\alpha)$.

Vozík se nepohybuje ve směru kolmém na rampu, proto je normálová složka tíhové síly $F_k$ v rovnováze s normálovou silou od podložky $F_n$. Platí tedy $F_n = F_k$. Jediná nevyrovnaná síla, která způsobuje pohyb, je pohybová složka $F_p$.

Podle druhého Newtonova zákona ($F=ma$) je výsledná síla působící na těleso rovna součinu jeho hmotnosti a zrychlení. V našem případě je výslednou silou ve směru pohybu právě pohybová složka $F_p$.

📐 Druhý Newtonův zákon
$F_p = m \cdot a$

Dosadíme za $F_p$ vztah z kroku 2:

📐 Dosazení
$m \cdot g \cdot \sin(\alpha) = m \cdot a$

Vidíme, že hmotnost vozíku $m$ se vykrátí. Zrychlení na nakloněné rovině bez tření tedy nezávisí na hmotnosti tělesa! Získáme jednoduchý vztah pro zrychlení:

📐 Zrychlení na nakloněné rovině
$a = g \cdot \sin(\alpha)$

Nyní dosadíme hodnoty (použijeme $g \approx 10~\text{m/s}^2$):

📐 Výpočet zrychlení
$a = 10~\text{m/s}^2 \cdot \frac{2}{\sqrt{29}} \approx 10 \cdot \frac{2}{5{,}39}~\text{m/s}^2 \approx 3{,}71~\text{m/s}^2$

Odpověď b): Zrychlení vozíku je přibližně 3,7 m/s².

Vozík se pohybuje rovnoměrně zrychleně s počáteční rychlostí $v_0 = 0$. Pro dráhu takového pohybu platí vztah:

📐 Dráha rovnoměrně zrychleného pohybu
$s = \frac{1}{2} a t^2$

Z tohoto vzorce potřebujeme vyjádřit čas $t$:

📐 Čas z dráhy a zrychlení
$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$

Dosadíme hodnoty, které jsme již vypočítali: $s = \sqrt{29}~\text{m}$ a $a = g \cdot \frac{2}{\sqrt{29}}~\text{m/s}^2$.

📐 Dosazení hodnot
$t = \sqrt{\frac{2 \cdot \sqrt{29}}{g \cdot \frac{2}{\sqrt{29}}}} = \sqrt{\frac{\sqrt{29} \cdot \sqrt{29}}{g}} = \sqrt{\frac{29}{g}}$

Tento elegantní mezivýsledek nám usnadní finální výpočet:

📐 Výpočet času
$t = \sqrt{\frac{29}{10}}~\text{s} = \sqrt{2{,}9}~\text{s} \approx 1{,}7~\text{s}$

Odpověď c): Čas sjezdu je přibližně 1,7 sekundy.

Na základě našich výpočtů můžeme odpovědět na všechny otázky v zadání:

  • a) Síly na vozík: Na vozík působí tíhová síla (svisle dolů) a normálová síla (kolmo na rampu). Pro analýzu pohybu se tíhová síla rozkládá na složku rovnoběžnou s rampou (způsobuje zrychlení) a složku kolmou (je v rovnováze s normálovou silou).
  • b) Zrychlení vozíku: Zrychlení vozíku je přibližně $a \approx 3{,}7~\text{m/s}^2$.
  • c) Doba sjezdu: Vozík sjede celou délku rampy za přibližně $t \approx 1{,}7~\text{s}$.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč zrychlení vozíku nezávisí na jeho hmotnosti? Znamená to, že stejně rychle by sjížděl prázdný vozík i vozík plný cihel?
  • Jak by se změnilo zrychlení a čas sjezdu, kdyby rampa byla strmější (např. vysoká 5 m a dlouhá 5 m)?
  • Jakým způsobem by se řešení úlohy zkomplikovalo, kdybychom uvažovali smykové tření s koeficientem $f$? Která síla by se přidala do schématu a jak by ovlivnila zrychlení?
  • Dokázali byste vypočítat rychlost vozíku na konci rampy? Které dva fyzikální principy (kinematika vs. zákon zachování energie) byste mohli použít?