20. Kritický úhel nakloněné roviny
Dynamika - řešený příklad
💡 Praktická aplikace: Existuje kritický úhel, při kterém se těleso samo rozjede dolů konstantní rychlostí bez jakékoli vnější síly. Tento úhel závisí pouze na součiniteli tření.
Zadání úlohy
Těleso se pohybuje dolů konstantní rychlostí bez dalších sil. Součinitel smykového tření je 0,4. Určete úhel mezi nakloněnou rovinou a vodorovnou rovinou.
Postup řešení
Těleso klouže dolů po nakloněné rovině konstantní rychlostí → výslednice všech sil je nulová.
Působící síly ve směru pohybu:
- Složka tíhové síly: $F_{g\parallel}$ - táhne dolů po svahu
- Třecí síla: $F_t$ - působí nahoru po svahu
⚖️ Rovnováha sil
$F_{g\parallel} = F_t$
Vyjádříme si jednotlivé síly:
- $F_{g\parallel} = F_g \cdot \sin(\alpha) = m \cdot g \cdot \sin(\alpha)$
- $F_t = f \cdot F_n = f \cdot F_{g\perp} = f \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha)$
📐 Normálová síla
$F_n = F_{g\perp} = m \cdot g \cdot \cos(\alpha)$
🧮 Třecí síla
$F_t = f \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha)$
Dosadíme do rovnice rovnováhy sil:
🎯 Hlavní rovnice
$m \cdot g \cdot \sin(\alpha) = f \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha)$
Hmotnost $m$ a tíhové zrychlení $g$ se vykrátí:
✂️ Po vykrácení
$\sin(\alpha) = f \cdot \cos(\alpha)$
Zajímavé zjištění: Kritický úhel nezávisí na hmotnosti tělesa!
Vydělíme celou rovnici výrazem $\cos(\alpha)$:
📐 Tangens úhlu
$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = f$
$\tan(\alpha) = f$
$\tan(\alpha) = f$
Dosadíme hodnotu ze zadání:
🧮 Výpočet úhlu
$\tan(\alpha) = 0{,}4$
$\alpha = \arctan(0{,}4) \approx 21{,}8°$
$\alpha = \arctan(0{,}4) \approx 21{,}8°$
Úhel nakloněné roviny je přibližně 21,8°
Fyzikální význam:
- Při tomto úhlu se síly přesně vyrovnají
- Těleso klouže konstantní rychlostí
- Úhel závisí pouze na součiniteli tření
Shrnutí a kontrola
Hlavní poznatky:
- Identifikovali jsme klíčové veličiny
- Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
- Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
- Proč kritický úhel nezávisí na hmotnosti tělesa?
- Co se stane při úhlu větším než kritický?
- Jaký je vztah mezi kritickým úhlem a součinitelem tření?