19. Pohyb po nakloněné rovině

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Nakloněná rovina je jedním ze základních jednoduchých strojů. Když tlačíme předmět nahoru po nakloněné rovině, síla potřebná k pohybu závisí na úhlu sklonu, hmotnosti a tření.

Zadání úlohy

Ocelové těleso o hmotnosti 10 kg je rozpohybováno stálou rychlostí. Součinitel smykového tření je 0,35. Vypočítejte sílu, kterou potřebujeme vynaložit k pohybu tělesa, jestliže:
  • a) α = 0° (vodorovná rovina)
  • b) α = 30° nahoru
  • c) α = 30° dolů

Postup řešení

Pohyb je rovnoměrný (stálá rychlost), takže celková síla ve směru pohybu musí být nulová. Tažná síla $F$ musí vyrovnávat jak třecí sílu, tak případnou složku tíhové síly při pohybu na svahu.

📊 Dané hodnoty
$m = 10$ kg
$f = 0{,}35$
$g = 9{,}81$ m·s⁻²

Na vodorovné rovině musí tažná síla vyrovnávat pouze třecí sílu:

⚖️ Rovnováha sil
$F = F_t = f \cdot F_n = f \cdot m \cdot g$
📐 Výpočet
$F = 0{,}35 \times 10 \times 9{,}81$
$F = 34{,}34$ N

Při pohybu nahoru musíme vyrovnat jak třecí sílu, tak složku tíhové síly směřující dolů po svahu:

⚖️ Rovnováha sil
$F = F_{g\parallel} + F_t$
$F = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) + f \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha)$
$F = m \cdot g \cdot (\sin(\alpha) + f \cdot \cos(\alpha))$
📐 Výpočet
$F = 10 \times 9{,}81 \times (\sin(30°) + 0{,}35 \times \cos(30°))$
$F = 98{,}1 \times (0{,}5 + 0{,}35 \times 0{,}866)$
$F = 98{,}1 \times (0{,}5 + 0{,}303)$
$F = 98{,}1 \times 0{,}803$
$F = 78{,}77$ N

Při pohybu dolů složka tíhové síly "pomáhá" pohybu, ale třecí síla stále brzdí:

⚖️ Rovnováha sil
$F + F_{g\parallel} = F_t$
$F = F_t - F_{g\parallel}$
$F = f \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) - m \cdot g \cdot \sin(\alpha)$
$F = m \cdot g \cdot (f \cdot \cos(\alpha) - \sin(\alpha))$
📐 Výpočet
$F = 10 \times 9{,}81 \times (0{,}35 \times \cos(30°) - \sin(30°))$
$F = 98{,}1 \times (0{,}35 \times 0{,}866 - 0{,}5)$
$F = 98{,}1 \times (0{,}303 - 0{,}5)$
$F = 98{,}1 \times (-0{,}197)$
$F = -19{,}33$ N

Interpretace záporného výsledku: Záporné znaménko znamená, že síla působí opačným směrem - dolů po svahu. Těleso by se samo rozjelo dolů, takže musíme brzdit silou 19,33 N směrem nahoru.

a) F = 34,34 N (na vodorovné rovině)

b) F = 78,77 N (nahoru po svahu 30°)

c) F = 19,33 N (brzdit při pohybu dolů po svahu 30°)

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Jak by se změnila potřebná síla, kdyby byl povrch kluzkější (menší f)?
  • Proč je třecí síla úměrná normálové síle?
  • Jaký vliv má hmotnost tělesa na potřebnou sílu?