17. Brzdná dráha a rychlost

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Praktická aplikace fyziky v reálném světě.

Zadání úlohy

Helmut roztlačil dvacetikilovou kartonovou krabici na rychlost 2 m/s a nechal ji klouzat po lině. Krabice za 1,6 s zastavila. Jaký je koeficient tření mezi krabicí a linem?

Postup řešení

Helmut udělil krabici počáteční rychlost $v_0 = 2~\text{m/s}$ a poté ji nechal volně klouzat. Na krabici po roztlačení působí ve vodorovném směru už jen třecí síla $F_t$, která ji brzdí. Tento pohyb je tedy rovnoměrně zpomalený. Známe počáteční rychlost, čas zastavení $t = 1{,}6~\text{s}$ a konečnou rychlost $v = 0~\text{m/s}$. Naším cílem je najít koeficient smykového tření $f$.

Všimněte si, že hmotnost krabice (20 kg) je v zadání uvedena, ale uvidíme, zda ji budeme potřebovat.

Zpomalení (záporné zrychlení) $a$ můžeme vypočítat přímo z definice zrychlení, což je změna rychlosti za čas:

📐 Definice zrychlení
$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{t}$

Dosadíme známé hodnoty:

📐 Výpočet zpomalení
$a = \frac{0~\text{m/s} - 2~\text{m/s}}{1{,}6~\text{s}} = -1{,}25~\text{m/s}^2$

Záporné znaménko potvrzuje, že se jedná o zpomalení – rychlost se snižuje. Velikost zpomalení je 1,25 m/s².

Podle druhého Newtonova zákona je síla, která způsobuje zpomalení, rovna $F = m \cdot a$. V našem případě je touto silou třecí síla $F_t$. Její velikost je dána vztahem $F_t = f \cdot F_n$, kde $F_n$ je normálová síla. Na vodorovné podložce je normálová síla stejně velká jako tíhová síla $F_g = m \cdot g$.

Dáme tyto vztahy dohromady. Velikost brzdné síly se musí rovnat velikosti třecí síly:

📐 Rovnováha sil
$m \cdot |a| = f \cdot m \cdot g$

Hmotnost $m$ se na obou stranách rovnice vykrátí. Z toho plyne, že zpomalení způsobené třením nezávisí na hmotnosti tělesa. Získáme vztah:

📐 Vztah pro koeficient tření
$|a| = f \cdot g \quad \Rightarrow \quad f = \frac{|a|}{g}$

Nyní dosadíme velikost vypočteného zpomalení a hodnotu tíhového zrychlení $g \approx 10~\text{m/s}^2$:

📐 Výpočet
$f = \frac{1{,}25~\text{m/s}^2}{10~\text{m/s}^2} = 0{,}125$

Výsledek: Koeficient tření mezi krabicí a linem je 0,125.

Koeficient tření je bezrozměrná veličina. Hodnota 0,125 odpovídá poměrně hladkému povrchu, což pro lino dává smysl.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • V zadání byla uvedena hmotnost krabice 20 kg, ale ve výpočtu jsme ji nepoužili. Proč? Změnil by se výsledek, kdyby krabice vážila 40 kg?
  • Jakou dráhu krabice urazila, než se zastavila?
  • Představte si, že by Helmut chtěl, aby krabice zastavila na poloviční vzdálenosti. Jakou počáteční rychlost by jí musel udělit?
  • Jak by se změnil výpočet, kdyby se celá situace odehrávala na Měsíci, kde je tíhové zrychlení přibližně 6krát menší?