16. Tření pneumatiky při smyku

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Praktická aplikace fyziky v reálném světě.

Zadání úlohy

Při smyku je koeficient tření mezi pneumatikou v rozmezí zhruba 0,2-0,6 podle toho, zda je silnice mokrá či suchá a podobně. Jakou velikost má zpomalení auta, které se v rychlosti 90 km/h dostane do smyku? Jak daleko dojede, než zastaví?

Postup řešení

Fyzikální vzorce pracují se základními jednotkami SI. Proto musíme nejprve převést počáteční rychlost auta z kilometrů za hodinu na metry za sekundu. Pro převod použijeme jednoduchý vztah: $1~\text{km} = 1000~\text{m}$ a $1~\text{h} = 3600~\text{s}$.

Nejjednodušší je vydělit hodnotu v km/h číslem 3,6:

📐 Převod rychlosti
$v_0 = 90~\text{km/h} = \frac{90}{3{,}6}~\text{m/s} = 25~\text{m/s}$

Počáteční rychlost auta je tedy 25 m/s. Tuto hodnotu budeme používat v dalších výpočtech.

Když se auto dostane do smyku, jeho kola se zablokují a kloužou po vozovce. Jediná vodorovná síla, která auto brzdí, je smyková třecí síla $F_t$ mezi pneumatikami a silnicí. Podle druhého Newtonova zákona ($F=ma$) tato síla způsobuje zpomalení (záporné zrychlení) auta.

Velikost třecí síly závisí na koeficientu smykového tření $f$ a na normálové síle $F_n$, kterou silnice působí na auto. Na vodorovné silnici je normálová síla stejně velká jako tíhová síla $F_g = m \cdot g$.

📐 Třecí síla při smyku
$F_t = f \cdot F_n = f \cdot m \cdot g$

Z druhého Newtonova zákona víme, že brzdná síla $F_t$ uděluje autu zpomalení $a$:

📐 Druhý Newtonův zákon
$F_t = m \cdot a$

Když porovnáme oba vztahy pro sílu $F_t$, dostaneme:

📐 Porovnání vztahů
$m \cdot a = f \cdot m \cdot g$

Hmotnost auta $m$ se vykrátí a získáme jednoduchý vztah pro zpomalení:

📐 Zpomalení při smyku
$a = f \cdot g$

Nyní spočítáme zpomalení pro oba případy (použijeme $g \approx 10~\text{m/s}^2$):

  • Suchá silnice ($f = 0{,}6$): $a_{sucho} = 0{,}6 \cdot 10~\text{m/s}^2 = 6~\text{m/s}^2$
  • Mokrá silnice ($f = 0{,}2$): $a_{mokro} = 0{,}2 \cdot 10~\text{m/s}^2 = 2~\text{m/s}^2$

Pro výpočet dráhy rovnoměrně zpomaleného pohybu můžeme použít vztah, který neobsahuje čas. Vychází z kombinace vzorců pro dráhu a rychlost. Finální vztah pro brzdnou dráhu $s$ při zpomalení $a$ z počáteční rychlosti $v_0$ do zastavení (konečná rychlost $v=0$) je:

📐 Brzdná dráha
$s = \frac{v_0^2}{2a}$

Pokud bychom dosadili za zpomalení $a = f \cdot g$, dostaneme obecný vzorec pro brzdnou dráhu při smyku:

📐 Obecný vzorec pro smyk
$s = \frac{v_0^2}{2fg}$

Dosadíme hodnoty $v_0 = 25~\text{m/s}$ a vypočtená zpomalení do vzorce $s = v_0^2 / (2a)$.

Suchá silnice ($a_{sucho} = 6~\text{m/s}^2$):

📐 Výpočet pro suchou silnici
$s_{sucho} = \frac{(25~\text{m/s})^2}{2 \cdot 6~\text{m/s}^2} = \frac{625}{12}~\text{m} \approx 52~\text{m}$

Mokrá silnice ($a_{mokro} = 2~\text{m/s}^2$):

📐 Výpočet pro mokrou silnici
$s_{mokro} = \frac{(25~\text{m/s})^2}{2 \cdot 2~\text{m/s}^2} = \frac{625}{4}~\text{m} \approx 156~\text{m}$

Výsledky jsou alarmující. Zatímco na suché silnici auto zastaví na dráze přibližně 52 metrů, na mokré silnici potřebuje k zastavení 156 metrů – tedy přesně třikrát delší dráhu! Tento obrovský rozdíl je způsoben snížením koeficientu tření.

Tento příklad jasně ukazuje, proč je za deště nebo na kluzkém povrchu naprosto klíčové snížit rychlost a dodržovat mnohem větší rozestupy mezi vozidly. Fyzika je v tomto neúprosná – brzdná dráha roste dramaticky se zhoršujícími se podmínkami.

Brzdná dráha závisí na druhé mocnině rychlosti ($s \sim v_0^2$)! Při dvojnásobné rychlosti je brzdná dráha čtyřikrát delší!

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Brzdná dráha závisí na druhé mocnině rychlosti ($s \sim v_0^2$). O kolik by se prodloužila brzdná dráha na suchu, kdyby auto jelo rychlostí 130 km/h místo 90 km/h?
  • V našem modelu jsme zanedbali odpor vzduchu. Myslíte si, že by jeho započtení brzdnou dráhu výrazně zkrátilo, nebo jen nepatrně?
  • Moderní auta mají systém ABS, který zabraňuje smyku kol. Koeficient statického tření (když kolo neklouže) je vyšší než koeficient smykového tření. Co to znamená pro brzdnou dráhu auta s ABS?
  • Jak by se výpočet změnil, kdyby auto brzdilo z kopce se sklonem $\alpha$?