15. Tření láhve ve vlaku

Dynamika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Praktická aplikace fyziky v reálném světě.

Zadání úlohy

Koeficient tření mezi pivní lahví a stolkem ve vlaku je 0,2. K jakým maximálním zrychlením může docházet ve vlaku, aniž by se lahev začala klouzat?

Postup řešení

Představme si, že sedíme ve vlaku a lahev stojí klidně na stolku. Dokud vlak jede stálou rychlostí nebo stojí, je vše v pořádku. Problém nastává, když vlak začne zrychlovat nebo brzdit. Lahev má, jako každý předmět, svou setrvačnost – snaží se zůstat ve svém původním stavu pohybu. Když vlak zrychlí, lahev má tendenci "zůstat pozadu". Síla, která ji nutí zrychlovat spolu s vlakem, je třecí síla mezi dnem lahve a povrchem stolku. Pokud tato síla není dostatečně velká, lahev začne po stolku klouzat.

Na lahev působí v našem modelu celkem tři hlavní síly:

  • Tíhová síla $F_g$: Působí svisle dolů. Její velikost je $F_g = m \cdot g$, kde $m$ je hmotnost lahve a $g$ je tíhové zrychlení.
  • Normálová síla $F_n$: Tlaková síla od stolku, která působí kolmo na povrch (tedy svisle vzhůru). Ve svislém směru je v klidu, takže platí $F_n = F_g$.
  • Třecí síla $F_t$: Působí vodorovně, rovnoběžně s povrchem stolku, a brání relativnímu pohybu. Právě tato síla uděluje lahvi zrychlení ve vodorovném směru. Její maximální velikost je dána vztahem $F_{t,max} = f \cdot F_n$, kde $f$ je koeficient tření.

Aby lahev neklouzala, musí se pohybovat se stejným zrychlením $a$ jako vlak. Podle druhého Newtonova zákona ($F=ma$) musí na lahev ve vodorovném směru působit síla o velikosti $F = m \cdot a$. Tuto sílu zajišťuje statické tření $F_t$.

Lahev se začne klouzat v okamžiku, kdy potřebná síla pro zrychlení přesáhne maximální možnou třecí sílu. Hraniční situace tedy nastává, když se tyto síly rovnají:

📐 Rovnováha sil
$m \cdot a_{max} = F_{t,max}$

Dosadíme vztahy pro síly: $F_{t,max} = f \cdot F_n$ a $F_n = m \cdot g$.

📐 Dosazení
$m \cdot a_{max} = f \cdot (m \cdot g)$

Jak vidíme, hmotnost lahve $m$ se na obou stranách rovnice vykrátí. Získáme tak finální vztah pro maximální zrychlení:

📐 Maximální zrychlení
$a_{max} = f \cdot g$

Nyní už jen dosadíme zadané hodnoty do odvozeného vzorce:

  • Koeficient tření: $f = 0{,}2$
  • Tíhové zrychlení: $g \approx 10~\text{m/s}^2$
📐 Výpočet
$a_{max} = 0{,}2 \cdot 10~\text{m/s}^2 = 2~\text{m/s}^2$

Výsledek: Maximální zrychlení, při kterém se lahev ještě nezačne klouzat, je 2 m/s².

Co výsledek $2~\text{m/s}^2$ znamená v praxi? Je to poměrně citelné, ale ne extrémní zrychlení. Odpovídá zrychlení z 0 na 100 km/h za přibližně 14 sekund. Pokud se tedy vlak rozjíždí nebo brzdí plynule, lahev zůstane na svém místě. Při prudkém zabrzdění nebo škubnutí by však zrychlení mohlo tuto hodnotu překročit a lahev by se po stolku posunula (vzhledem k vlaku proti směru zrychlení). Tento princip platí pro jakékoliv zrychlení v rovině stolku – ať už jde o rozjezd, brzdění, nebo průjezd zatáčkou.

Shrnutí a kontrola

Hlavní poznatky:
  • Identifikovali jsme klíčové veličiny
  • Aplikovali jsme správné fyzikální zákony
  • Ověřili jsme jednotky a řády velikosti
Kontrola rozumnosti: Vždy zkontrolujte, zda výsledek dává fyzikální smysl vzhledem k zadání.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč v konečném vzorci nevystupuje hmotnost lahve? Znamená to, že výsledek by byl stejný pro prázdnou i plnou lahev?
  • Jak by se řešení změnilo, kdyby vlak jel do mírného kopce a stolek byl tedy lehce nakloněný?
  • Co kdyby vlak nebrzdil ani nezrychloval, ale projížděl zatáčkou konstantní rychlostí? Jaká síla by v takovém případě způsobovala zrychlení lahve?
  • Jak byste mohli v praxi zařídit, aby lahev na stolku vydržela i větší zrychlení?