🎯 Dynamika - Kompletní zadání a řešení (1-56)

Úvodní poznámka

V dynamice je klíčové umět správně identifikovat všechny síly působící na těleso a pochopit, jak ovlivňují jeho pohyb. Vždy se zaměřujeme na dané těleso a na to, co na něj působí.

a) Volejbalový míč padá k zemi

Identifikace sil:

• Gravitační síla ($F_g$) - směr: dolů, velikost: $m \cdot g$
• Odpor vzduchu ($F_{ov}$) - směr: nahoru, proti pohybu

Výslednice směřuje dolů (míč zrychluje dokud $F_{ov}$ nevyrovná $F_g$).

b) Krabice mléka na stole

Identifikace sil:

• Gravitační síla ($F_g$) - směr: dolů
• Normálová síla ($F_n$) - směr: nahoru, kolmo k povrchu

c) Krabice mléka s jogurtem

Síly působící na krabici:

• Gravitační síla krabice ($F_{g,k}$) - směr: dolů
• Tlaková síla od jogurtu ($F_{tlak,j}$) - směr: dolů
• Normálová síla od stolu ($F_n$) - směr: nahoru

d) Dvě koule na provázku

Síly na horní kouli:

• Gravitační síla horní koule ($F_{g,h}$) - směr: dolů
• Tahová síla od spodní koule ($F_{t,d}$) - směr: dolů
• Tahová síla provázku ($F_{t,p}$) - směr: nahoru

e) Zabržděné auto na svahu

Identifikace sil:

• Gravitační síla ($F_g$) - rozložit na $F_{g,\perp}$ (kolmá na svah) a $F_{g,\parallel}$ (rovnoběžná se svahem)
• Normálová síla ($F_n$) - kolmá na svah, vyrovnává $F_{g,\perp}$
• Statická třecí síla ($F_t$) - rovnoběžná se svahem nahoru

f) Auto brzdí před přechodem

Identifikace sil:

• Gravitační síla ($F_g$) - dolů
• Normálová síla ($F_n$) - nahoru ($F_n = F_g$)
• Kinetická třecí síla ($F_t$) - proti směru pohybu

g) Lyžař bez tření (zrychluje)

Identifikace sil:

• Gravitační síla ($F_g$) - rozložit na $F_{g,\perp}$ a $F_{g,\parallel}$
• Normálová síla ($F_n$) - vyrovnává $F_{g,\perp}$
• Tření zanedbatelné

Lyžař zrychluje dolů po svahu.

h) Lyžař s třením (rovnoměrně)

Identifikace sil:

• Gravitační síla ($F_g$) - rozložit na $F_{g,\perp}$ a $F_{g,\parallel}$
• Normálová síla ($F_n$) - vyrovnává $F_{g,\perp}$
• Kinetická třecí síla ($F_t$) - nahoru po svahu

Lyžař jede konstantní rychlostí.

Analýza pohybu

Loď jede rovnoměrně přímočaře → výsledná působící síla je nulová.

Síly působící na loď

• Gravitační síla Země: $F_g$ (dolů)
• Vztlaková síla vody: $F_{vz}$ (nahoru)
• Odporová síla vody: $F_o$ (proti směru pohybu)
• Síla lodního šroubu: $F_s$ (ve směru pohybu)

Akce-reakce?

Ne - všechny síly působí na loď → žádná dvojice nemůže představovat akci-reakci.

Akce-reakce: síly působí na různá tělesa, mají stejnou velikost a opačný směr.

Analýza situace a klíčová myšlenka

V zadání je klíčová informace, že se auto pohybuje rychlostí 20 m·s⁻¹. Není zde zmínka o zrychlování ani zpomalování. To znamená, že jeho pohyb je rovnoměrný přímočarý.

Co nám říká první Newtonův zákon? Těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud na něj nepůsobí žádná síla, nebo pokud je výslednice všech sil nulová.

Identifikace sil

Ve směru jízdy na auto působí dvě hlavní síly:

• Tažná síla motoru ($F_{tah}$) - pohání auto dopředu
• Třecí síla ($F_{třecí}$) - působí proti směru pohybu (odpor vzduchu, tření pneumatik)

Aby byla výsledná síla nulová, musí být tyto dvě síly v rovnováze:

Zápis hodnot a převod jednotek

Ze zadání víme:

• Rychlost: $v = 20$ m·s⁻¹ (pro rovnováhu sil nepotřebujeme)
• Třecí síla: $F_{třecí} = 1$ kN

Převod na základní jednotky:

Výpočet

Dosadíme do rovnice rovnováhy:

Kontrola a odpověď

Tažná síla motoru musí být 1000 N (1 kN)

Kontrola: Výslednice sil je nulová → auto se pohybuje stálou rychlostí ✓

Krok 1: Zopakování základních jednotek SI

Nejprve si připomeneme, co je naším cílem a jaké nástroje máme k dispozici. Chceme vyjádřit jednotku síly, Newton (N), pomocí základních jednotek soustavy SI. Základní jednotky, které budeme pro tento úkol potřebovat, jsou:

• délka: metr (m)
• hmotnost: kilogram (kg)
• čas: sekunda (s)

Naším cílem je zapsat Newton pouze s použitím těchto tří jednotek.

Krok 2: Nalezení vhodného fyzikálního vztahu

Jak napovídá nápověda, potřebujeme fyzikální vzorec, kde se vyskytuje síla ($F$). Nejznámějším a nejvhodnějším je druhý Newtonův zákon, který popisuje vztah mezi silou, hmotností a zrychlením.

Kde F je síla, m je hmotnost a a je zrychlení.

Krok 3: Analýza jednotek na pravé straně rovnice

Nyní se podíváme na jednotky jednotlivých veličin v rovnici $F = ma$:

• Jednotkou hmotnosti ($m$) je základní jednotka kilogram (kg).
• Jednotkou zrychlení ($a$) je metr za sekundu na druhou (m/s²). Zrychlení nám říká, jak rychle se mění rychlost (jejíž jednotka je m/s) v čase (s), proto platí (m/s) / s = m/s².

Krok 4: Dosazení jednotek a finální vyjádření

Teď už jen dosadíme zjištěné jednotky do původního vztahu. Místo veličin píšeme jejich jednotky. Víme, že jednotkou síly ($F$) je Newton (N).

Tím jsme úspěšně vyjádřili jednotku síly Newton pomocí základních jednotek SI: kilogram, metr a sekunda. Toto je správné a kompletní řešení.

Krok 1: Analýza sil působících na kýbl

Nejprve si musíme uvědomit, jaké síly na kýbl působí. Nakreslení jednoduchého obrázku může pomoci. Působí zde dvě hlavní síly v svislém směru:

• Tažná síla ($F$): To je síla, kterou my působíme na kýbl směrem nahoru. Je to naše hledaná neznámá.
• Tíhová síla ($F_g$): Síla, kterou Země přitahuje kýbl směrem dolů. Její velikost vypočítáme jako $F_g = mg$.

Protože kýbl zrychluje směrem nahoru, musí být síla táhnoucí nahoru ($F$) větší než síla tíhová ($F_g$), která působí dolů. Kdyby byly síly v rovnováze ($F = F_g$), kýbl by se pohyboval konstantní rychlostí nebo by stál na místě.

Krok 2: Výsledná síla a druhý Newtonův zákon

Rozdíl mezi silou nahoru a silou dolů je výsledná síla ($F_v$), která způsobuje zrychlení. Protože síly působí proti sobě, jejich velikosti odčítáme:

$F_v = F - F_g$

Podle druhého Newtonova zákona platí, že výsledná síla je rovna součinu hmotnosti a zrychlení. Známe hmotnost (m = 5 kg) i zrychlení (a = 2 m/s²), takže výslednou sílu můžeme přímo vypočítat.

Výsledná síla o velikosti 10 N je ten "přebytek" síly, který udává kýblu zrychlení 2 m/s² směrem nahoru.

Krok 3: Výpočet celkové tažné síly

Nyní už známe velikost výsledné síly ($F_v$) a můžeme si vypočítat i velikost tíhové síly ($F_g$). Pro tíhové zrychlení použijeme zaokrouhlenou hodnotu $g \approx 10~\text{m/s}^2$.

$F_g = mg = 5~\text{kg} \cdot 10~\text{m/s}^2 = 50~\text{N}$

Vrátíme se k rovnici pro výslednou sílu $F_v = F - F_g$ a vyjádříme si neznámou tažnou sílu $F$:

$F = F_v + F_g$

Celková síla, kterou musíme působit, se tedy skládá ze síly potřebné k překonání gravitace (50 N) a síly potřebné k udělení zrychlení (10 N).

Krok 4: Odpověď

Abychom táhli kýbl s vodou o hmotnosti 5 kg nahoru se zrychlením 2 m/s², musíme působit silou o velikosti 60 N.

Krok 1: Analýza situace a působících sil

Nejdříve si musíme ujasnit, jaké síly na krabici působí, když ji tlačíme proti svislé stěně. Je klíčové pochopit jejich směr a původ:

• Tíhová síla ($F_g$): Působí vždy svisle dolů. Je způsobena gravitací Země. Její velikost je $F_g = m \cdot g$.
• Tlačná síla ($F$): To je síla, kterou my působíme na krabici. Působí vodorovně proti stěně. Toto je síla, kterou hledáme.
• Normálová síla ($F_n$): Je to reakce stěny na naši tlačnou sílu. Působí kolmo na stěnu, tedy vodorovně od stěny. Její velikost je stejná jako velikost naší tlačné síly ($F_n = F$).
• Třecí síla ($F_t$): Tato síla brání pohybu. Protože tíhová síla táhne krabici dolů, třecí síla musí působit nahoru. Důležité je, že velikost třecí síly závisí na tom, jak silně je krabice přitlačena ke stěně (tedy na normálové síle $F_n$).

Hlavní myšlenka je, že náš vodorovný tlak ($F$) vytváří normálovou sílu ($F_n$), která následně umožňuje vznik dostatečně velké svislé třecí síly ($F_t$) k udržení krabice na místě.

Krok 2: Podmínka rovnováhy – aby krabice nesklouzla

Aby krabice nesklouzla dolů, musí být síly ve svislém směru v rovnováze. To znamená, že síla působící nahoru (třecí síla) musí být stejně velká jako síla působící dolů (tíhová síla).

Matematicky to zapíšeme jako podmínku: $F_t = F_g$.

Nejdříve si vypočítáme velikost tíhové síly. Použijeme zadanou hmotnost $m = 16~\text{kg}$ a tíhové zrychlení $g \approx 10~\text{m/s}^2$.

Z podmínky rovnováhy tedy víme, že třecí síla musí mít velikost přesně 160 N, aby krabici udržela.

Krok 3: Výpočet potřebné tlačné síly

Nyní využijeme vztah pro výpočet třecí síly. Velikost třecí síly je přímo úměrná velikosti normálové síly a součiniteli tření $f$.

Z tohoto vztahu si můžeme vyjádřit normálovou sílu $F_n$, kterou potřebujeme k vyvození třecí síly o velikosti 160 N. Dosadíme $F_t = F_g$.

Jak jsme si řekli v prvním kroku, normálová síla $F_n$ je přímou reakcí na naši tlačnou sílu $F$ a má stejnou velikost. Platí tedy $F = F_n$.

Krok 4: Odpověď

Aby krabice o hmotnosti 16 kg nesklouzla po stěně se součinitelem tření 0,65, je potřeba na ni kolmo ke stěně tlačit silou o velikosti přibližně 246 N.

Krok 1: Analýza prvního měření a určení koeficientu tření

Nejdříve využijeme data z měření s prázdným hrnkem. Klíčová informace je, že Pepíček táhl hrnek rovnoměrně. To znamená, že pohyb probíhal s konstantní rychlostí a nulovým zrychlením. Podle prvního Newtonova zákona musí být výslednice sil nulová. V našem případě to znamená, že síla, kterou Pepíček táhl (měřená siloměrem), musela být stejně velká jako třecí síla, která pohybu bránila.

• Tíhová síla hrnku ($F_{g1}$): Změřena zavěšením, je to 4 N. Na vodorovné podložce je tíhová síla rovna normálové síle ($F_{n1}$), kterou stůl působí na hrnek.
• Tažná síla = Třecí síla ($F_{t1}$): Změřena při rovnoměrném tažení, je to 1,6 N.

Nyní můžeme vypočítat součinitel smykového tření ($f$), což je vlastnost dvojice povrchů (hrnek a stůl), která se nezmění, ani když do hrnku něco nalijeme.

Součinitel tření mezi hrnkem a stolem je 0,4. Tato hodnota je bezrozměrná.

Krok 2: Analýza druhého měření a výpočet celkové tíhy

Nyní se podíváme na situaci po nalití piva. Princip je stejný: hrnek je opět tažen rovnoměrně, takže tažná síla je rovna nové, větší třecí síle.

• Nová tažná síla = Nová třecí síla ($F_{t2}$): Je to 2,8 N.
• Součinitel tření ($f$): Zůstává stejný, tedy 0,4.

Protože se zvýšila třecí síla, musela se zvýšit i celková tíhová (a tedy i normálová) síla. Pomocí známého součinitele tření a nové třecí síly můžeme vypočítat celkovou tíhu hrnku s pivem ($F_{g2}$).

Celková tíha hrnku i s pivem je 7 N.

Krok 3: Výpočet tíhy a hmotnosti přidaného piva

Úkol je zjistit, kolik piva bylo přilito. To už je jednoduché. Známe celkovou tíhu (7 N) a známe původní tíhu prázdného hrnku (4 N). Rozdíl těchto hodnot nám dá tíhu samotného piva.

Tíha piva ($\Delta F_g$) = Celková tíha ($F_{g2}$) - Tíha hrnku ($F_{g1}$)

Pro lepší představu můžeme tíhu převést na hmotnost pomocí vztahu $F_g = m \cdot g$. Při použití $g \approx 10~\text{m/s}^2$ dostaneme:

$m = \frac{\Delta F_g}{g} = \frac{3~\text{N}}{10~\text{m/s}^2} = 0{,}3~\text{kg}$

Krok 4: Odpověď

Pepíček do hrnku nalil pivo o tíze 3 N, což odpovídá hmotnosti přibližně 300 gramů (neboli objemu cca 300 ml).

Analýza situace

Zadání neuvádí sklon, takže předpokládáme pohyb po vodorovné rovině. Pohyb je rovnoměrný, takže tažná síla $F_{tah}$ musí být stejně velká jako třecí síla $F_t$.

Výpočet normálové síly

Na vodorovné rovině je normálová síla $F_n$ rovna tíhové síle $F_g$:

Výpočet třecí síly

Třecí síla se vypočítá podle vzorce:

Určení tažné síly

Protože $F_{tah} = F_t$:

Odpověď

Síla potřebná k rovnoměrnému pohybu tělesa je přibližně 549,4 N.

Příprava a zápis hodnot

Toto je obrácený předchozí příklad - známe sílu a hledáme součinitel tření.

• Pohyb: rovnoměrný, po vodorovné podložce
• Tažná síla: $F_{tah} = 1{,}2$ N
• Hmotnost: $m = 600$ g = $0{,}6$ kg (pozor na převod!)
• Rychlost: $v = 10$ m·s⁻¹ (jen informativní)

Využití rovnováhy sil

Pro rovnoměrný pohyb platí:

Víme, že $F_t = f \cdot F_n$ a na vodorovné rovině $F_n = m \cdot g$:

Vyjádření součinitele tření

Z rovnice si vyjádříme neznámou $f$:

Výpočet

Dosadíme známé hodnoty:

Odpověď

Součinitel smykového tření je přibližně 0,20.

Poznámka: Součinitel tření je bezrozměrné číslo.

Zadané hodnoty

• Koeficient tření: $f = 0,7$
• Nosnost lana: $F_{max} = 25 \text{ kg} \cdot g = 250 \text{ N}$

Rovnováha sil

Při tažení konstantní rychlostí: $F = F_t$

Výpočet hmotnosti

Odpověď: Nejtěžší skříň má hmotnost 36 kg.

Část a) - Rovnoměrný pohyb

Při rovnoměrném pohybu je zrychlení $a = 0$.

Odpověď: Auto může jet libovolnou rychlostí (odpor vzduchu zanedbán).

Část b) - Největší zrychlení

Maximální síla, která může působit na mobil, je síla tření:

Odpověď: Největší zrychlení je 4 m/s².

Část a) - Bez tření

Odpověď a): Největší zrychlení bez tření je 12 m/s².

Část b) - S třením

Tření pomáhá zrychlení (působí ve stejném směru):

Odpověď b): Největší zrychlení s třením je 15 m/s².

Způsob 1 - Tažení siloměrem

Táhnout člověka na bruslích siloměrem rovnoměrně.

Způsob 2 - Měření zpomalení

Nechat rozjet bruslařa a měřit zpomalení při brždění/klouzání.

Změříme zpomalení $a$ a vypočítáme $f = a/g$.

Analýza vztahu tření a normálové síly

Třecí síla mezi pneumatikou a silnicí závisí na součiniteli tření f a normálové síle F_n:

Pokud chceme zvětšit třecí sílu (a tím zlepšit přilnavost pneumatiky), musíme zvětšit normálovou sílu F_n, protože součinitel tření f je materiálová konstanta.

Řešení 1: Aerodynamické přítlačné síly (spoiler/křídlo)

Moderní závodní vozy používají aerodynamické prvky, které při rychlé jízdě vytvářejí přítlačnou sílu směrem dolů k vozovce.

Princip:

• Zadní spoiler nebo křídlo je tvarováno jako obrácené křídlo letadla
• Proudící vzduch vytváří sílu směřující dolů (downforce)
• Tato aerodynamická síla se přičítá k tíhové síle vozidla

Kde F_aero je aerodynamická přítlačná síla vytvořená spoilerem.

Řešení 2: Skloněná zatáčka (banking)

Závodní okruhy a rychlostní dálnice ve složitých zatáčkách používají skloněnou vozovku.

Princip:

• Silnice je ve směru zatáčky nakloněna pod úhlem α
• Tíhová síla má pak složku kolmou k vozovce i složku rovnoběžnou s vozovkou
• Složka kolmá k vozovce zvětšuje normálovou sílu

Při správně navržené zatáčce se normálová síla zvětšuje, což umožňuje projíždět zatáčku vyšší rychlostí bez smyku.

Praktické příklady

• Formule 1: Používá obrovské zadní křídlo, které při 300 km/h vytváří přítlačnou sílu až 2× větší než hmotnost vozu
• NASCAR: Závodní okruhy mají sklon zatáček až 36°, což umožňuje rychlosti přes 300 km/h
• Silniční doprava: Dálniční mimoúrovňové křižovatky mají mírný sklon (3-8°) pro bezpečnější průjezd

Analýza situace ve vlaku

Představme si, že sedíme ve vlaku a lahev stojí klidně na stolku. Dokud vlak jede stálou rychlostí nebo stojí, je vše v pořádku. Problém nastává, když vlak začne zrychlovat nebo brzdit. Lahev má, jako každý předmět, svou setrvačnost – snaží se zůstat ve svém původním stavu pohybu. Když vlak zrychlí, lahev má tendenci "zůstat pozadu". Síla, která ji nutí zrychlovat spolu s vlakem, je třecí síla mezi dnem lahve a povrchem stolku. Pokud tato síla není dostatečně velká, lahev začne po stolku klouzat.

Síly působící na lahev

Na lahev působí v našem modelu celkem tři hlavní síly:

• Tíhová síla $F_g$: Působí svisle dolů. Její velikost je $F_g = m \cdot g$, kde $m$ je hmotnost lahve a $g$ je tíhové zrychlení.
• Normálová síla $F_n$: Tlaková síla od stolku, která působí kolmo na povrch (tedy svisle vzhůru). Ve svislém směru je v klidu, takže platí $F_n = F_g$.
• Třecí síla $F_t$: Působí vodorovně, rovnoběžně s povrchem stolku, a brání relativnímu pohybu. Právě tato síla uděluje lahvi zrychlení ve vodorovném směru. Její maximální velikost je dána vztahem $F_{t,max} = f \cdot F_n$, kde $f$ je koeficient tření.

Odvození maximálního zrychlení

Aby lahev neklouzala, musí se pohybovat se stejným zrychlením $a$ jako vlak. Podle druhého Newtonova zákona ($F=ma$) musí na lahev ve vodorovném směru působit síla o velikosti $F = m \cdot a$. Tuto sílu zajišťuje statické tření $F_t$.

Lahev se začne klouzat v okamžiku, kdy potřebná síla pro zrychlení přesáhne maximální možnou třecí sílu. Hraniční situace tedy nastává, když se tyto síly rovnají:

Dosadíme vztahy pro síly: $F_{t,max} = f \cdot F_n$ a $F_n = m \cdot g$.

Jak vidíme, hmotnost lahve $m$ se na obou stranách rovnice vykrátí. Získáme tak finální vztah pro maximální zrychlení:

Výpočet konkrétního výsledku

Nyní už jen dosadíme zadané hodnoty do odvozeného vzorce:

• Koeficient tření: $f = 0{,}2$
• Tíhové zrychlení: $g \approx 10~\text{m/s}^2$

Výsledek: Maximální zrychlení, při kterém se lahev ještě nezačne klouzat, je 2 m/s².

Fyzikální interpretace

Co výsledek $2~\text{m/s}^2$ znamená v praxi? Je to poměrně citelné, ale ne extrémní zrychlení. Odpovídá zrychlení z 0 na 100 km/h za přibližně 14 sekund. Pokud se tedy vlak rozjíždí nebo brzdí plynule, lahev zůstane na svém místě. Při prudkém zabrzdění nebo škubnutí by však zrychlení mohlo tuto hodnotu překročit a lahev by se po stolku posunula (vzhledem k vlaku proti směru zrychlení). Tento princip platí pro jakékoliv zrychlení v rovině stolku – ať už jde o rozjezd, brzdění, nebo průjezd zatáčkou.

Převod rychlosti z km/h na m/s

Fyzikální vzorce pracují se základními jednotkami SI. Proto musíme nejprve převést počáteční rychlost auta z kilometrů za hodinu na metry za sekundu. Pro převod použijeme jednoduchý vztah: $1~\text{km} = 1000~\text{m}$ a $1~\text{h} = 3600~\text{s}$.

Nejjednodušší je vydělit hodnotu v km/h číslem 3,6:

Počáteční rychlost auta je tedy 25 m/s. Tuto hodnotu budeme používat v dalších výpočtech.

Analýza sil při smyku

Když se auto dostane do smyku, jeho kola se zablokují a kloužou po vozovce. Jediná vodorovná síla, která auto brzdí, je smyková třecí síla $F_t$ mezi pneumatikami a silnicí. Podle druhého Newtonova zákona ($F=ma$) tato síla způsobuje zpomalení (záporné zrychlení) auta.

Velikost třecí síly závisí na koeficientu smykového tření $f$ a na normálové síle $F_n$, kterou silnice působí na auto. Na vodorovné silnici je normálová síla stejně velká jako tíhová síla $F_g = m \cdot g$.

Výpočet zpomalení (a = fg)

Z druhého Newtonova zákona víme, že brzdná síla $F_t$ uděluje autu zpomalení $a$:

Když porovnáme oba vztahy pro sílu $F_t$, dostaneme:

Hmotnost auta $m$ se vykrátí a získáme jednoduchý vztah pro zpomalení:

Nyní spočítáme zpomalení pro oba případy (použijeme $g \approx 10~\text{m/s}^2$):

• Suchá silnice ($f = 0{,}6$): $a_{sucho} = 0{,}6 \cdot 10~\text{m/s}^2 = 6~\text{m/s}^2$
• Mokrá silnice ($f = 0{,}2$): $a_{mokro} = 0{,}2 \cdot 10~\text{m/s}^2 = 2~\text{m/s}^2$

Odvození vztahu pro brzdnou dráhu

Pro výpočet dráhy rovnoměrně zpomaleného pohybu můžeme použít vztah, který neobsahuje čas. Vychází z kombinace vzorců pro dráhu a rychlost. Finální vztah pro brzdnou dráhu $s$ při zpomalení $a$ z počáteční rychlosti $v_0$ do zastavení (konečná rychlost $v=0$) je:

Pokud bychom dosadili za zpomalení $a = f \cdot g$, dostaneme obecný vzorec pro brzdnou dráhu při smyku:

Výpočet brzdné dráhy pro obě varianty

Dosadíme hodnoty $v_0 = 25~\text{m/s}$ a vypočtená zpomalení do vzorce $s = v_0^2 / (2a)$.

Suchá silnice ($a_{sucho} = 6~\text{m/s}^2$):

Mokrá silnice ($a_{mokro} = 2~\text{m/s}^2$):

Srovnání a bezpečnostní závěry

Výsledky jsou alarmující. Zatímco na suché silnici auto zastaví na dráze přibližně 52 metrů, na mokré silnici potřebuje k zastavení 156 metrů – tedy přesně třikrát delší dráhu! Tento obrovský rozdíl je způsoben snížením koeficientu tření.

Tento příklad jasně ukazuje, proč je za deště nebo na kluzkém povrchu naprosto klíčové snížit rychlost a dodržovat mnohem větší rozestupy mezi vozidly. Fyzika je v tomto neúprosná – brzdná dráha roste dramaticky se zhoršujícími se podmínkami.

Analýza situace a pohybu

Helmut udělil krabici počáteční rychlost $v_0 = 2~\text{m/s}$ a poté ji nechal volně klouzat. Na krabici po roztlačení působí ve vodorovném směru už jen třecí síla $F_t$, která ji brzdí. Tento pohyb je tedy rovnoměrně zpomalený. Známe počáteční rychlost, čas zastavení $t = 1{,}6~\text{s}$ a konečnou rychlost $v = 0~\text{m/s}$. Naším cílem je najít koeficient smykového tření $f$.

Všimněte si, že hmotnost krabice (20 kg) je v zadání uvedena, ale uvidíme, zda ji budeme potřebovat.

Výpočet zpomalení

Zpomalení (záporné zrychlení) $a$ můžeme vypočítat přímo z definice zrychlení, což je změna rychlosti za čas:

Dosadíme známé hodnoty:

Záporné znaménko potvrzuje, že se jedná o zpomalení – rychlost se snižuje. Velikost zpomalení je 1,25 m/s².

Odvození vztahu pro koeficient tření

Podle druhého Newtonova zákona je síla, která způsobuje zpomalení, rovna $F = m \cdot a$. V našem případě je touto silou třecí síla $F_t$. Její velikost je dána vztahem $F_t = f \cdot F_n$, kde $F_n$ je normálová síla. Na vodorovné podložce je normálová síla stejně velká jako tíhová síla $F_g = m \cdot g$.

Dáme tyto vztahy dohromady. Velikost brzdné síly se musí rovnat velikosti třecí síly:

Hmotnost $m$ se na obou stranách rovnice vykrátí. Z toho plyne, že zpomalení způsobené třením nezávisí na hmotnosti tělesa. Získáme vztah:

Výpočet koeficientu tření

Nyní dosadíme velikost vypočteného zpomalení a hodnotu tíhového zrychlení $g \approx 10~\text{m/s}^2$:

Výsledek: Koeficient tření mezi krabicí a linem je 0,125.

Koeficient tření je bezrozměrná veličina. Hodnota 0,125 odpovídá poměrně hladkému povrchu, což pro lino dává smysl.

Analýza situace a sil

Helmut táhne krabici po koberci rovnoměrným pohybem. To je klíčová informace! Znamená to, že zrychlení je nulové ($a=0$) a podle prvního Newtonova zákona musí být výslednice sil působících na krabici nulová.

Ve vodorovném směru na krabici působí dvě síly: tažná síla provázku $F_{tah}$ a proti ní smyková třecí síla $F_t$. Aby byl pohyb rovnoměrný, musí se tyto dvě síly navzájem vyrušit, tedy musí mít stejnou velikost:

Zadání nám říká, že provázek se přetrhne při zatížení 10 kg. To nám umožňuje určit maximální možnou tažnou sílu $F_{tah,max}$.

Výpočet maximální tažné síly

Údaj "zatížení 10 kg" znamená, že provázek vydrží sílu odpovídající tíze tělesa o hmotnosti $m_{zátěž} = 10~\text{kg}$. Tuto sílu vypočítáme pomocí vzorce pro tíhovou sílu:

Při použití $g \approx 10~\text{m/s}^2$:

Maximální síla, kterou může provázek působit, je 100 Newtonů.

Odvození vztahu pro hmotnost krabice

Jak jsme si řekli, pro rovnoměrný pohyb platí $F_{tah} = F_t$. Třecí síla závisí na hmotnosti krabice $m_{krabice}$ a koeficientu tření $f$ podle vztahu:

Hledáme maximální hmotnost krabice $m_{max}$, kterou lze ještě táhnout. To odpovídá situaci, kdy je tažná síla právě na hranici přetržení, tedy $F_{tah} = F_{tah,max}$. Dosadíme do rovnice:

Z této rovnice vyjádříme neznámou $m_{max}$:

Výpočet maximální hmotnosti

Nyní dosadíme všechny známé hodnoty do odvozeného vzorce:

• $F_{tah,max} = 100~\text{N}$
• $f = 0{,}4$
• $g \approx 10~\text{m/s}^2$

Výsledek: Maximální hmotnost krabice, kterou může Helmut ještě rovnoměrně táhnout, je 25 kg.

Pokud by byla krabice těžší, třecí síla by byla větší než 100 N a provázek by se při pokusu o její utažení přetrhl.

Analýza situace

Pohyb je rovnoměrný (stálá rychlost), takže celková síla ve směru pohybu musí být nulová. Tažná síla $F$ musí vyrovnávat jak třecí sílu, tak případnou složku tíhové síly při pohybu na svahu.

a) Vodorovná rovina (α = 0°)

Na vodorovné rovině musí tažná síla vyrovnávat pouze třecí sílu:

b) Nakloněná rovina nahoru (α = 30°)

Při pohybu nahoru musíme vyrovnat jak třecí sílu, tak složku tíhové síly směřující dolů po svahu:

c) Nakloněná rovina dolů (α = 30°)

Při pohybu dolů složka tíhové síly "pomáhá" pohybu, ale třecí síla stále brzdí:

Interpretace záporného výsledku: Záporné znaménko znamená, že síla působí opačným směrem - dolů po svahu. Těleso by se samo rozjelo dolů, takže musíme brzdit silou 19,33 N směrem nahoru.

Odpověď

a) F = 34,34 N (na vodorovné rovině)

b) F = 78,77 N (nahoru po svahu 30°)

c) F = 19,33 N (brzdit při pohybu dolů po svahu 30°)

Analýza situace a sil

Těleso klouže dolů po nakloněné rovině konstantní rychlostí → výslednice všech sil je nulová.

Působící síly ve směru pohybu:

• Složka tíhové síly: $F_{g\parallel}$ - táhne dolů po svahu
• Třecí síla: $F_t$ - působí nahoru po svahu

Matematické vyjádření sil

Vyjádříme si jednotlivé síly:

• $F_{g\parallel} = F_g \cdot \sin(\alpha) = m \cdot g \cdot \sin(\alpha)$
• $F_t = f \cdot F_n = f \cdot F_{g\perp} = f \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha)$

Sestavení rovnice a řešení

Dosadíme do rovnice rovnováhy sil:

Hmotnost $m$ a tíhové zrychlení $g$ se vykrátí:

Zajímavé zjištění: Kritický úhel nezávisí na hmotnosti tělesa!

Vyjádření úhlu

Vydělíme celou rovnici výrazem $\cos(\alpha)$:

Dosadíme hodnotu ze zadání:

Odpověď a interpretace

Úhel nakloněné roviny je přibližně 21,8°

Fyzikální význam:

• Při tomto úhlu se síly přesně vyrovnají
• Těleso klouže konstantní rychlostí
• Úhel závisí pouze na součiniteli tření

Analýza geometrie rampy

Než začneme s fyzikou, musíme si ujasnit geometrii situace. Rampa tvoří pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami o délkách $b = 5~\text{m}$ (vodorovná) a $v = 2~\text{m}$ (svislá).

a) Délka rampy (přepona): Vozík sjíždí po přeponě trojúhelníku. Její délku, kterou označíme jako dráhu $s$, vypočítáme pomocí Pythagorovy věty:

b) Úhel sklonu rampy $\alpha$: Pro rozklad sil budeme potřebovat goniometrické funkce úhlu $\alpha$, který svírá rampa s vodorovnou rovinou. Není nutné počítat úhel ve stupních, stačí nám znát hodnotu jeho sinu, což je poměr protilehlé odvěsny (výšky) ku přeponě:

Rozklad sil na vozík

Nyní analyzujme síly působící na vozík. Jelikož je pohyb bez tření, působí na něj pouze dvě síly. Toto je zároveň odpověď na otázku a):

• Tíhová síla $F_g$: Působí vždy svisle dolů. Její velikost je $F_g = m \cdot g$.
• Normálová síla $F_n$: Je to reakce podložky (rampy) na tíhu vozíku. Působí vždy kolmo na povrch rampy směrem ven.

Abychom mohli určit pohybovou rovnici, je praktické rozložit tíhovou sílu $F_g$ na dvě na sebe kolmé složky:

• Pohybová složka $F_p$: Je rovnoběžná s rampou a "táhne" vozík dolů. Její velikost je $F_p = F_g \cdot \sin(\alpha)$.
• Normálová složka $F_k$: Je kolmá na rampu a tlačí vozík do podložky. Její velikost je $F_k = F_g \cdot \cos(\alpha)$.

Vozík se nepohybuje ve směru kolmém na rampu, proto je normálová složka tíhové síly $F_k$ v rovnováze s normálovou silou od podložky $F_n$. Platí tedy $F_n = F_k$. Jediná nevyrovnaná síla, která způsobuje pohyb, je pohybová složka $F_p$.

Určení zrychlení (a = g·sin α)

Podle druhého Newtonova zákona ($F=ma$) je výsledná síla působící na těleso rovna součinu jeho hmotnosti a zrychlení. V našem případě je výslednou silou ve směru pohybu právě pohybová složka $F_p$.

Dosadíme za $F_p$ vztah z kroku 2:

Vidíme, že hmotnost vozíku $m$ se vykrátí. Zrychlení na nakloněné rovině bez tření tedy nezávisí na hmotnosti tělesa! Získáme jednoduchý vztah pro zrychlení:

Nyní dosadíme hodnoty (použijeme $g \approx 10~\text{m/s}^2$):

Odpověď b): Zrychlení vozíku je přibližně 3,7 m/s².

Výpočet času sjezdu (s = ½at²)

Vozík se pohybuje rovnoměrně zrychleně s počáteční rychlostí $v_0 = 0$. Pro dráhu takového pohybu platí vztah:

Z tohoto vzorce potřebujeme vyjádřit čas $t$:

Dosadíme hodnoty, které jsme již vypočítali: $s = \sqrt{29}~\text{m}$ a $a = g \cdot \frac{2}{\sqrt{29}}~\text{m/s}^2$.

Tento elegantní mezivýsledek nám usnadní finální výpočet:

Odpověď c): Čas sjezdu je přibližně 1,7 sekundy.

Slovní odpověď na všechny části

Na základě našich výpočtů můžeme odpovědět na všechny otázky v zadání:

• a) Síly na vozík: Na vozík působí tíhová síla (svisle dolů) a normálová síla (kolmo na rampu). Pro analýzu pohybu se tíhová síla rozkládá na složku rovnoběžnou s rampou (způsobuje zrychlení) a složku kolmou (je v rovnováze s normálovou silou).
• b) Zrychlení vozíku: Zrychlení vozíku je přibližně $a \approx 3{,}7~\text{m/s}^2$.
• c) Doba sjezdu: Vozík sjede celou délku rampy za přibližně $t \approx 1{,}7~\text{s}$.

Analýza situace a sil (část a)

Máme sáňky se Zdeňkem na svahu se sklonem $\alpha = 30°$. Celková hmotnost je $m = m_{sáněk} + m_{Zdeňka} = 10~\text{kg} + 30~\text{kg} = 40~\text{kg}$. Na sáňky působí několik sil, které je klíčové správně identifikovat a rozložit do směrů rovnoběžného a kolmého ke svahu.

• Tíhová síla $F_g$: Působí svisle dolů. Velikost $F_g = m \cdot g$. Tuto sílu rozložíme na dvě složky:
  • Pohybová složka $F_p$: Působí rovnoběžně se svahem směrem dolů. Velikost $F_p = F_g \sin \alpha = mg \sin \alpha$.
  • Normálová (tlaková) složka $F_k$: Působí kolmo na svah. Velikost $F_k = F_g \cos \alpha = mg \cos \alpha$.
• Normálová síla $F_n$: Reakce svahu na sáňky, působí kolmo na svah směrem nahoru. Je v rovnováze s $F_k$, takže $F_n = F_k = mg \cos \alpha$.
• Třecí síla $F_t$: Působí vždy proti směru pohybu, rovnoběžně se svahem. Velikost $F_t = f \cdot F_n = f mg \cos \alpha$.
• Tažná síla $F_{tah}$: Síla, kterou Lucka táhne sáňky. Působí rovnoběžně se svahem směrem nahoru.

Výpočet tažné síly pro rovnoměrný pohyb (část b)

"Rovnoměrný pohyb" znamená, že zrychlení je nulové ($a=0$). Podle Newtonových zákonů musí být výslednice sil ve směru pohybu nulová. Síly táhnoucí nahoru se musí rovnat silám táhnoucím dolů.

Lucka musí překonat jak složku tíhové síly, která táhne sáňky dolů ($F_p$), tak tření ($F_t$), které také působí proti pohybu nahoru. Dosadíme vztahy pro síly:

Nyní dosadíme hodnoty ($g \approx 10~\text{m/s}^2$, $\sin 30° = 0{,}5$, $\cos 30° \approx 0{,}866$):

Odpověď b): Pro rovnoměrný pohyb nahoru musí Lucka táhnout silou přibližně 269 N.

Zrychlení při sjezdu dolů (část c)

Při sjezdu dolů Lucka sáňky netáhne ($F_{tah}=0$). Pohyb způsobuje tíhová složka $F_p$ (směrem dolů), zatímco třecí síla $F_t$ působí proti pohybu (tedy směrem nahoru). Výsledná síla $F_{vysl}$ je jejich rozdíl.

Hmotnost $m$ se opět vykrátí. Vzorec pro zrychlení při sjezdu je:

Odpověď c): Zrychlení sáněk při sjezdu by bylo přibližně 3,27 m/s².

Dráha ujetá za 3 sekundy při sjezdu (část d)

Sáňky se rozjíždějí z klidu ($v_0=0$) a pohybují se rovnoměrně zrychleně se zrychlením $a$ vypočteným v předchozím kroku. Pro dráhu takového pohybu platí:

Odpověď d): Za 3 sekundy by sáňky ujely přibližně 14,7 metru.

Analýza sil a pohybu (část a)

Lyžař vjíždí do protisvahu o sklonu $\alpha = 20°$ s počáteční rychlostí $v_0 = 10~\text{m/s}$. Jeho pohyb je rovnoměrně zpomalený, protože proti směru pohybu (nahoru po svahu) působí dvě síly:

• Pohybová složka tíhové síly $F_p$: Táhne lyžaře dolů po svahu. Její velikost je $F_p = mg \sin \alpha$.
• Třecí síla $F_t$: Působí proti pohybu, tedy také dolů po svahu. Její velikost je $F_t = f \cdot F_n = f mg \cos \alpha$.

Celková brzdná síla $F_{brzd}$ je součtem těchto dvou sil. Tato síla způsobuje zpomalení $a$.

Výpočet zpomalení

Podle druhého Newtonova zákona $F = ma$. V našem případě je výsledná (brzdná) síla:

Hmotnost lyžaře $m$ se vykrátí. Zpomalení tedy nezávisí na tom, jak je lyžař těžký.

Dosadíme hodnoty ($g \approx 10~\text{m/s}^2$, $\sin 20° \approx 0{,}342$, $\cos 20° \approx 0{,}940$):

Velikost zpomalení je 4,36 m/s².

Výpočet brzdné dráhy (část b)

Pro výpočet dráhy rovnoměrně zpomaleného pohybu až do zastavení (konečná rychlost $v=0$) použijeme vztah, který neobsahuje čas:

Odpověď b): Lyžař urazí přibližně 11,5 metru, než zastaví.

Množství tepla z tření (část c)

Teplo $Q$ vzniklé třením je rovno práci, kterou vykonala třecí síla $W_t$ po dráze $s$.

Dosadíme za třecí sílu $F_t = f \cdot F_n = f mg \cos \alpha$:

Protože neznáme hmotnost lyžaře $m$, nemůžeme vypočítat konkrétní číselnou hodnotu. Můžeme pouze konstatovat, že množství tepla je přímo úměrné hmotnosti lyžaře.

Odpověď c): Množství tepla, které vznikne třením, je dáno vztahem $Q = f \cdot mg \cos \alpha \cdot s$.

Analýza rovnováhy sil

Auto parkuje na svahu a nesmí začít klouzat. Jedná se tedy o statickou situaci. Na auto působí ve směru svahu dvě hlavní síly:

• Pohybová složka tíhové síly $F_p$: Táhne auto dolů po svahu. Její velikost je $F_p = mg \sin \alpha$.
• Statická třecí síla $F_{ts}$: Působí proti tendenci pohybu, tedy nahoru po svahu. Brání autu v rozjetí.

Aby auto stálo na místě, musí být tyto dvě síly v rovnováze: $F_p = F_{ts}$. Statická třecí síla však nemůže být libovolně velká. Její maximální velikost je $F_{ts,max} = f_s \cdot F_n = f_s mg \cos \alpha$, kde $f_s$ je koeficient statického tření.

Odvození podmínky pro maximální sklon

Auto začne klouzat v okamžiku, kdy síla táhnoucí ho dolů ($F_p$) přesáhne maximální možnou statickou třecí sílu ($F_{ts,max}$). Hraniční, tedy maximální možný úhel $\alpha_{max}$, nastává, když se tyto dvě síly právě rovnají:

Dosadíme do rovnice známé vztahy:

Jak vidíme, hmotnost auta $m$ i tíhové zrychlení $g$ se z rovnice vykrátí. Maximální úhel svahu, na kterém auto udrží tření, tedy nezávisí na jeho hmotnosti.

Finální vztah a výpočet

Rovnici upravíme tak, že ji celou vydělíme výrazem $\cos \alpha_{max}$:

Z goniometrie víme, že podíl $\sin x / \cos x$ je roven funkci tangens. Tím získáme velmi elegantní a jednoduchý výsledek:

Nyní stačí dosadit hodnotu koeficientu statického tření $f_s = 0{,}6$ a vypočítat úhel pomocí funkce arkus tangens (inverzní tangens).

Interpretace výsledku

Odpověď: Maximální sklon svahu, na kterém může Adam bezpečně zaparkovat (aniž by auto začalo klouzat čistě vlivem gravitace), je přibližně 31°. Pokud by byl svah strmější, složka tíhové síly by byla větší než maximální statická třecí síla a auto by se dalo do pohybu. Tento výsledek platí pro jakkoli těžké auto, pokud má pneumatiky se stejným koeficientem tření.

Identifikace principu a vzorce

Tento příklad je přímou aplikací druhého Newtonova zákona: síla se rovná součinu hmotnosti a zrychlení.

Příprava hodnot a vyjádření neznámé

Ze zadání máme:

• Síla: $F = 3{,}3 \times 10^7$ N
• Hmotnost: $m = 2 \times 10^6$ kg
• Zrychlení: $a = ?$

Ze základního vzorce si vyjádříme zrychlení:

Výpočet

Dosadíme hodnoty do vzorce:

Interpretace a porovnání

Zrychlení 16,5 m·s⁻² je značné! Pro porovnání:

• Tíhové zrychlení na Zemi: $g = 9{,}81$ m·s⁻²
• Poměr: $\frac{16{,}5}{9{,}81} \approx 1{,}7$

Raketa zrychluje zhruba 1,7krát rychleji než volně padající těleso!

Odpověď

Zrychlení rakety je 16,5 m·s⁻² (asi 1,7násobek tíhového zrychlení na Zemi)

Vztah mezi silou a změnou hybnosti

Druhý Newtonův zákon můžeme formulovat také jako impulz síly:

Příprava hodnot a výpočet změny hybnosti

Ze zadání máme (pozor na převod jednotek!):

• Hmotnost: $m = 300$ g = $0{,}3$ kg
• Počáteční hybnost: $p_1 = 220$ kg·m·s⁻¹
• Konečná hybnost: $p_2 = 400$ kg·m·s⁻¹
• Čas: $t = 15$ s

Vyjádření a výpočet zrychlení

Z rovnice $\Delta p = m \cdot a \cdot t$ si vyjádříme zrychlení:

Dosadíme hodnoty:

Kontrola pomocí rychlostí

Můžeme si ověřit výpočet přes rychlosti:

Odpověď

Zrychlení tělesa je 40 m·s⁻²

Poznámka: To je více než 4násobek tíhového zrychlení - jedná se o velmi velké zrychlení!

Analýza zadání

V zadání je uvedeno, že působí "stálá síla", ale není řečeno, jak je tato síla velká. Bez této informace nemůžeme vypočítat konkrétní číselnou hodnotu rychlosti.

Můžeme však výsledek vyjádřit obecně, v závislosti na velikosti neznámé síly $F$.

Obecné řešení pomocí druhého Newtonova zákona

Ze druhého Newtonova zákona víme, že zrychlení tělesa bude:

Výpočet rychlosti

Pro rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu platí:

Protože těleso bylo původně v klidu: $v_0 = 0$

Příklady pro konkrétní síly

Rychlost tělesa po 5 sekundách bude 2,5násobkem velikosti působící síly:

Odpověď

V zadání chybí hodnota působící síly. Pokud bychom ji znali, rychlost tělesa po 5 sekundách by byla 2,5násobkem velikosti této síly.

Obecně: $v = 2{,}5 \cdot F$ m·s⁻¹

Analýza soustavy

Označení: $m_1 = 3$ kg (na nakloněné rovině), $m_2 = 2$ kg (na rovině), $m_3 = 2$ kg (visí)

Celá soustava se pohybuje se stejným zrychlením $a$.

Síly působící na jednotlivá tělesa

• Na $m_1$: složka tíže po nakloněné rovině $m_1 g \sin 30° = 3 × 10 × 0,5 = 15$ N
• Na $m_3$: tíhová síla $m_3 g = 2 × 10 = 20$ N

Výpočet zrychlení

Poznámka: V původním řešení bylo $a = 1,4$ m/s², což odpovídá jinému uspořádání hmotností.

Síla v provázku

Pro visící závaží $m_3$:

Odpověď: Síla v provázku je 18,6 N.

Zadané hodnoty

• Nosnost uch: $F_{max} = 12$ kg $× g = 120$ N
• Hmotnost tašky: $m = 11$ kg

Analýza sil ve výtahu

Na tašku působí:

• Tíhová síla: $F_g = mg$ (dolů)
• Síla uch: $F$ (nahoru)

Při zrychlení nahoru: $F = F_g + F_{zrychlení} = mg + ma$

Výpočet maximálního zrychlení

Odpověď: Nejvyšší zrychlení výtahu je 0,91 m/s².

Analýza problému – Pád v ideálním světě (vakuum)

Představme si situaci bez jakéhokoliv odporu vzduchu, například na Měsíci nebo ve vakuové komoře. Na každou kouli působí pouze jedna síla – její tíhová síla $F_g = m \cdot g$. Podle druhého Newtonova zákona platí, že síla uděluje tělesu zrychlení podle vztahu $F = m \cdot a$.

Spojením těchto dvou zákonů pro padající těleso dostaneme:

Jak vidíme, hmotnost $m$ se na obou stranách rovnice vykrátí. Zůstane nám pouze:

Tento zásadní výsledek znamená, že ve vakuu všechna tělesa padají se stejným zrychlením $g$ bez ohledu na jejich hmotnost. Těžká olověná koule i lehké pírko by na Měsíci dopadly na povrch ve stejný okamžik (pokud je pustíme ze stejné výšky). Toto je jádro Galileovy myšlenky, která vyvrátila Aristotelovo tvrzení, že těžší tělesa padají rychleji.

Analýza problému – Pád v reálném světě (atmosféra)

Na Zemi však musíme počítat s odporem vzduchu ($F_{odpor}$). Tato síla působí vždy proti směru pohybu a její velikost závisí na rychlosti, tvaru a velikosti tělesa. Na padající koule tedy působí dvě síly: tíhová síla $F_g$ dolů a odporová síla $F_{odpor}$ nahoru. Výsledná síla je jejich rozdíl:

Zadání říká, že koule jsou "stejně velké", takže při stejné rychlosti na ně působí i stejně velká odporová síla. Rozdíl je ale v jejich tíhové síle:

• Těžší koule: Má větší $mg$, takže výsledná síla $F_{vysl}$ bude větší. Větší výsledná síla znamená větší zrychlení.
• Lehčí koule: Má menší $mg$, takže výsledná síla $F_{vysl}$ bude menší. Menší výsledná síla znamená menší zrychlení.

Závěr a argumentace

Na Zemi v atmosféře: Těžší koule bude padat o něco rychleji. Ačkoliv odpor vzduchu brzdí obě koule stejně, u těžší koule tvoří menší podíl z celkové síly, která ji táhne dolů. Její zrychlení bude tedy po celou dobu pádu o něco vyšší než u lehčí koule.

Na Měsíci (bez atmosféry): Obě koule budou padat naprosto stejně rychle a dopadnou ve stejný okamžik. Chybí zde totiž odpor prostředí, který by způsoboval rozdíl.

Analýza a výpočet sil

Na parašutistu po otevření padáku působí dvě síly ve svislém směru:

• Tíhová síla $F_g$: Působí dolů. Její velikost je $F_g = m \cdot g$.

• Odporová síla vzduchu $F_{odpor}$: Působí nahoru, proti směru pohybu. Ze zadání víme, že $F_{odpor} = 1{,}1~\text{kN} = 1100~\text{N}$.

Výpočet výsledné síly a zrychlení

Výsledná síla $F_{vysl}$ je vektorovým součtem těchto dvou sil. Protože působí v opačných směrech, jejich velikosti od sebe odečteme.

Protože odporová síla je větší než tíhová, výsledná síla směřuje nahoru. Podle druhého Newtonova zákona ($F=ma$) tato síla způsobí zrychlení:

Odpověď na 1. část: Zrychlení parašutisty je přibližně 2,22 m/s² a směřuje nahoru. To neznamená, že letí nahoru, ale že velmi prudce brzdí!

Směr rychlosti: Parašutista stále padá dolů, ale jeho rychlost se snižuje.

Výpočet rychlosti po 2 sekundách

Pohyb je rovnoměrně zpomalený. Pro výpočet konečné rychlosti $v$ použijeme vztah $v = v_0 + a \cdot t$. Musíme si dát pozor na znaménka. Pokud počáteční rychlost dolů považujeme za kladnou ($v_0 = +50~\text{m/s}$), pak zrychlení směřující nahoru musí být záporné ($a = -2{,}22~\text{m/s}^2$).

Odpověď na 2. část: Rychlost parašutisty za 2 sekundy klesne na přibližně 45,6 m/s.

Analýza situace

Nejprve si rozebereme, co se v úloze děje. Marek tlačí auto, které je na rovině a zpočátku v klidu ($v_0 = 0$). Na auto působí Markova síla dopředu a odporové síly dozadu. Protože síla dopředu je větší než síla dozadu, auto bude zrychlovat. Naším úkolem je zjistit, za jak dlouho dosáhne dané rychlosti.

Hodnoty ze zadání (převedené na jednotky SI):

• Síla Marka: $F_{tah} = 300 \, \text{N}$
• Odporová síla: $F_{odpor} = 100 \, \text{N}$
• Hmotnost auta: $m = 1,4 \, \text{t} = 1400 \, \text{kg}$
• Cílová rychlost: $v = 12 \, \text{km/h} = \frac{12}{3,6} \, \text{m/s} = \frac{10}{3} \, \text{m/s} \approx 3,33 \, \text{m/s}$

Hledáme čas $t$.

Výběr fyzikálních rovnic

Pro vyřešení úlohy budeme potřebovat dva základní fyzikální principy:

1. Druhý Newtonův zákon, který spojuje výslednou sílu, hmotnost a zrychlení. To nám umožní vypočítat, jak rychle bude auto zrychlovat.
2. Vztah pro rovnoměrně zrychlený pohyb, který dává do souvislosti zrychlení, rychlost a čas.

Algebraické vyjádření

Naším cílem je najít čas $t$. Z rovnice pro rychlost si můžeme čas vyjádřit jako $t = \frac{v}{a}$. Zrychlení $a$ ale neznáme. To získáme z Newtonova zákona.

Výsledná síla $F_{vysl}$ je rozdíl mezi Markovou silou a odporem: $F_{vysl} = F_{tah} - F_{odpor}$. Dosazením do Newtonova zákona získáme: $F_{tah} - F_{odpor} = m \cdot a$. Odtud si vyjádříme zrychlení:

Nyní tento výraz pro zrychlení $a$ dosadíme do vzorce pro čas $t$:

Získali jsme finální vzorec pro výpočet času.

Dosazení a výpočet

Nyní dosadíme číselné hodnoty do odvozeného vzorce. Pro přesnější výsledek použijeme pro rychlost zlomek $\frac{10}{3} \, \text{m/s}$.

Výsledek převedeme na desetinné číslo:

Kontrola a odpověď

Zkontrolujme jednotky: $\frac{(\text{m/s}) \cdot \text{kg}}{\text{N}} = \frac{(\text{m/s}) \cdot \text{kg}}{\text{kg} \cdot \text{m/s}^2} = \frac{1}{1/\text{s}} = \text{s}$. Jednotky vycházejí správně. Výsledek 23 sekund se zdá být reálný pro roztlačení auta na rychlost chůze. Není to ani příliš krátký, ani příliš dlouhý čas.

Odpověď: Markovi bude trvat přibližně 23,3 sekundy, než auto roztlačí na rychlost 12 km/h.

Analýza situace

Tato úloha se skládá ze dvou odlišných fází pohybu. Je klíčové je správně pochopit.

1. Fáze rovnoměrného pohybu: Adriana tlačí silou $F_{tah1} = 50 \, \text{N}$ a vozík se pohybuje konstantní rychlostí. To znamená, že zrychlení je nulové. Podle Newtonových zákonů musí být i výsledná síla nulová. Z toho plyne, že síla, kterou Adriana tlačí, je přesně stejně velká jako součet všech odporových sil (tření). Tímto zjištěním získáme velikost třecí síly: $F_{tření} = 50 \, \text{N}$.
2. Fáze zrychleného pohybu: Adriana zvýší sílu na $F_{tah2} = 200 \, \text{N}$. Odporová síla zůstává (předpokládáme) stejná, $F_{tření} = 50 \, \text{N}$. Rozdíl těchto sil způsobí zrychlení vozíku.

Hodnoty pro fázi zrychlování (převedené na jednotky SI):

• Počáteční rychlost: $v_0 = 5 \, \text{km/h} = \frac{5}{3,6} \, \text{m/s}$
• Konečná rychlost: $v = 15 \, \text{km/h} = \frac{15}{3,6} \, \text{m/s}$
• Čas zrychlování: $t = 0,5 \, \text{min} = 30 \, \text{s}$
• Výsledná síla: $F_{vysl} = F_{tah2} - F_{tření} = 200 \, \text{N} - 50 \, \text{N} = 150 \, \text{N}$

Hledáme hmotnost vozíku $m$.

Výběr fyzikálních rovnic

K výpočtu hmotnosti budeme potřebovat zkombinovat dva fyzikální vztahy:

1. Definici zrychlení, která nám umožní z údajů o změně rychlosti a času vypočítat zrychlení vozíku.
2. Druhý Newtonův zákon, který propojuje výslednou sílu, zrychlení a hledanou hmotnost.

Algebraické vyjádření

Naším cílem je vypočítat hmotnost $m$. Z druhého Newtonova zákona si ji můžeme vyjádřit:

Výslednou sílu $F_{vysl}$ jsme již určili ($150 \, \text{N}$), ale zrychlení $a$ musíme nejprve vypočítat ze změny rychlosti. Dosadíme tedy vztah pro zrychlení do rovnice pro hmotnost:

Úpravou složeného zlomku získáme finální vzorec, který obsahuje všechny známé veličiny:

Dosazení a výpočet

Nyní dosadíme číselné hodnoty do odvozeného vzorce. Změna rychlosti je $v - v_0 = 10 \, \text{km/h}$, což je $\frac{10}{3,6} \, \text{m/s}$.

Pokračujeme ve výpočtu:

Kontrola a odpověď

Zkontrolujme jednotky: $\frac{\text{N} \cdot \text{s}}{\text{m/s}} = \frac{\text{N} \cdot \text{s}^2}{\text{m}} = \frac{(\text{kg} \cdot \text{m/s}^2) \cdot \text{s}^2}{\text{m}} = \text{kg}$. Jednotky jsou v pořádku. Hmotnost 1620 kg (přes 1,6 tuny) je pro důlní vozík reálná hodnota.

Odpověď: Hmotnost důlního vozíku byla 1620 kg.

Analýza situace

Máme dvě samostatné soustavy se závažími (tzv. Atwoodovy stroje), které jsou navzájem propojeny nepružným vláknem. Klíčový poznatek je, že díky tomuto spojení se obě soustavy musí pohybovat jako jeden celek. To znamená, že všechny jejich části mají stejnou rychlost a především stejné zrychlení $a$.

Naším úkolem je určit toto společné zrychlení. Můžeme se na celou soustavu dívat jako na jediný systém, který je poháněn některými silami a brzděn jinými.

• Pohybové (hnací) síly: Tíhové síly těžších závaží, která táhnou systém dolů. To jsou závaží o hmotnostech 2 kg a 3 kg. Jejich tíhové síly jsou $F_{g1} = 20 \, \text{N}$ a $F_{g2} = 30 \, \text{N}$.
• Brzdné síly: Tíhové síly lehčích závaží, která jsou vytahována nahoru. V obou případech se jedná o závaží 1 kg, jejichž tíhové síly jsou $F_{g3} = 10 \, \text{N}$ a $F_{g4} = 10 \, \text{N}$.
• Celková hmotnost: Aby se systém rozhýbal, musí hnací síla urychlit hmotnost všech zúčastněných závaží. Celková hmotnost je součet hmotností obou soustav: $m_{celk} = m_{levá} + m_{pravá} = 3 \, \text{kg} + 6 \, \text{kg} = 9 \, \text{kg}$.

Výběr fyzikální rovnice

Protože se na celou soustavu díváme jako na jeden pohybující se objekt, můžeme použít druhý Newtonův zákon v jeho základní podobě. Ten říká, že výsledná vnější síla působící na systém je rovna součinu celkové hmotnosti systému a jeho zrychlení.

Výslednou sílu $F_{vysl}$ určíme jako rozdíl mezi součtem všech hnacích sil a součtem všech brzdných sil.

Algebraické vyjádření

Naším cílem je najít zrychlení $a$. Z druhého Newtonova zákona si jej jednoduše vyjádříme:

Nyní si rozepíšeme, z čeho se skládá výsledná síla a celková hmotnost, jak jsme si analyzovali v prvním kroku:

• $F_{vysl} = (\text{součet hnacích sil}) - (\text{součet brzdných sil})$
• $m_{celk} = m_{levá} + m_{pravá}$

Spojením získáme kompletní vzorec pro výpočet:

Dosazení a výpočet

Nyní dosadíme konkrétní hodnoty ze zadání do našeho odvozeného vzorce.

Výsledek zjednodušíme a převedeme na desetinné číslo:

Kontrola a odpověď

Zkontrolujme jednotky: $\frac{\text{N}}{\text{kg}} = \frac{\text{kg} \cdot \text{m/s}^2}{\text{kg}} = \text{m/s}^2$. Jednotky jsou správně. Výsledné zrychlení je menší než tíhové zrychlení $g$ (cca $10 \, \text{m/s}^2$), což dává smysl, protože systém není ve volném pádu, ale je brzděn lehčími závažími.

Odpověď: Velikost zrychlení celé spojené soustavy (a tedy i každé její části) je přibližně 3,33 m/s².

Opět impulz síly!

Impulz síly ($F \cdot t$) způsobí změnu hybnosti koule ($\Delta p$). Protože koule byla na začátku v klidu, její počáteční hybnost byla nulová.

Příprava hodnot

Ze zadání máme (pozor na převody jednotek!):

• Hmotnost: $m = 200$ g = $0{,}2$ kg
• Čas: $t = 7$ ms = $0{,}007$ s
• Síla: $F = 50$ N
• Konečná rychlost: $v_2 = ?$

Vyjádření a výpočet rychlosti

Z rovnice $F \cdot t = m \cdot v_2$ si vyjádříme rychlost:

Dosadíme hodnoty:

Interpretace výsledku

Rychlost 1,75 m·s⁻¹ odpovídá 6,3 km/h - to je rozumná rychlost pro kulečníkovou kouli.

Odpověď

Koule se bude po kontaktu pohybovat rychlostí 1,75 m·s⁻¹ (což je 6,3 km/h)

Analýza situace

V tomto příkladu máme bruslaře, na kterého po velmi krátkou dobu působí vnější síla. Naším úkolem je zjistit, jak tato síla změní jeho rychlost. Pro takové krátkodobé děje (nárazy, údery, krátké postrčení) je ideální použít koncept impulsu síly.

Fyzikální význam impulsu síly: Impuls síly ($I = F \cdot t$) nám říká, jaký je celkový "účinek" síly působící v čase. Není to jen o velikosti síly, ale i o tom, jak dlouho působí. Silný, ale extrémně krátký úder může mít stejný účinek (stejnou změnu pohybu) jako slabší síla působící po delší dobu. Impuls síly je tedy mírou celkového "postrčení" nebo "nárazu", který těleso obdrží.

Hodnoty ze zadání:

• Hmotnost bruslaře: $m = 50 \, \text{kg}$
• Síla postrčení: $F = 40 \, \text{N}$
• Doba působení síly: $t = 0,5 \, \text{s}$

Hledáme změnu rychlosti $\Delta v$. Tření zanedbáváme.

Výběr fyzikální rovnice

Základním nástrojem pro řešení této úlohy je věta o impulsu a změně hybnosti. Ta říká, že impuls síly, který na těleso působí, je roven změně hybnosti tohoto tělesa.

Spojením těchto dvou vztahů dostáváme klíčovou rovnici:

Algebraické vyjádření

Naším cílem je zjistit změnu rychlosti $\Delta v$. Z rovnice $F \cdot t = m \cdot \Delta v$ si tuto neznámou jednoduše vyjádříme tak, že celou rovnici vydělíme hmotností $m$.

Získáme tak finální vzorec pro výpočet:

Tento vzorec nám říká, že změna rychlosti bude tím větší, čím větší je síla a doba jejího působení, a naopak tím menší, čím je těleso hmotnější.

Dosazení a výpočet

Nyní dosadíme zadané číselné hodnoty do odvozeného vzorce.

Výsledek výpočtu je:

Kontrola a odpověď

Zkontrolujme jednotky: $\frac{\text{N} \cdot \text{s}}{\text{kg}} = \frac{(\text{kg} \cdot \text{m/s}^2) \cdot \text{s}}{\text{kg}} = \text{m/s}$. Jednotka rychlosti vychází správně. Změna rychlosti o 0,4 m/s (což je 1,44 km/h) je pro danou situaci realistická hodnota.

Odpověď: Rychlost bruslaře se vlivem postrčení změní o 0,4 m/s.

Analýza situace

Jedná se o klasický příklad srážky, kde na těleso (míček) působí po velmi krátkou dobu velmi velká síla. Naším úkolem je určit průměrnou velikost této síly. K tomu využijeme koncept impulsu síly a změny hybnosti.

Nejprve si musíme dohledat a převést všechny hodnoty na základní jednotky SI:

• Hmotnost baseballového míčku: $m = 145 \, \text{g} = 0,145 \, \text{kg}$
• Doba kontaktu: $t = 2 \, \text{ms} = 0,002 \, \text{s}$
• Rychlost nadhozu: $v_1 = 140 \, \text{km/h} = \frac{140}{3,6} \, \text{m/s} \approx 38,89 \, \text{m/s}$
• Rychlost odpalu: $v_2 = 150 \, \text{km/h} = \frac{150}{3,6} \, \text{m/s} \approx 41,67 \, \text{m/s}$

Klíčová úvaha – změna rychlosti: Rychlost je vektorová veličina, záleží tedy na jejím směru. Musíme si zvolit jeden směr jako kladný. Zvolme směr odletu míčku od pálky jako kladný.

• Rychlost odletu je tedy $v_2 = +41,67 \, \text{m/s}$.
• Rychlost příletu $v_1$ má opačný směr, proto jí musíme přiřadit záporné znaménko: $v_1 = -38,89 \, \text{m/s}$.

Změna rychlosti $\Delta v$ je definována jako "konečná rychlost mínus počáteční rychlost":

Celková změna rychlosti je tedy součtem velikostí obou rychlostí, protože míček musel nejprve úplně zastavit a poté zrychlit v opačném směru.

Výběr fyzikální rovnice

Stejně jako v předchozím příkladu, i zde je nejvhodnějším nástrojem věta o impulsu a změně hybnosti. Ta říká, že impuls síly, který na míček působí, je roven celkové změně hybnosti míčku.

V tomto vztahu je $F$ průměrná síla, protože skutečná síla během kontaktu není konstantní (roste z nuly na maximum a pak opět klesá).

Algebraické vyjádření

Naším cílem je vypočítat průměrnou sílu $F$. Z výše uvedené rovnice ji získáme jednoduchou úpravou – vydělením obou stran rovnice časem $t$.

Finální vzorec pro výpočet síly je:

Dosazení a výpočet

Nyní dosadíme všechny hodnoty, které jsme si připravili v prvním kroku, do odvozeného vzorce.

Výsledná síla je:

Kontrola a odpověď

Zkontrolujme jednotky: $\frac{\text{kg} \cdot (\text{m/s})}{\text{s}} = \frac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}^2} = \text{N}$. Jednotka síly je správná. Velikost síly téměř 6 kN odpovídá tíze tělesa o hmotnosti 584 kg. To je obrovská síla, ale vzhledem k extrémně krátké době kontaktu a velké změně rychlosti je to reálná hodnota.

Odpověď: Baseballová pálka působí na míček průměrnou silou přibližně 5840 N (tedy 5,84 kN).

Analýza situace

Tento problém se skládá ze dvou po sobě jdoucích fyzikálních dějů:

1. Nepružná srážka: V okamžiku, kdy brankář chytí míč, dojde ke srážce. Protože brankář a míč poté tvoří jeden celek (brankář drží míč v náručí), jedná se o tzv. dokonale nepružnou srážku. Pro takové srážky platí zákon zachování hybnosti. Ten nám umožní vypočítat, jakou společnou rychlostí se brankář s míčem začnou pohybovat těsně po chycení.
2. Vodorovný vrh: Ihned po srážce se soustava brankář+míč pohybuje nějakou počáteční vodorovnou rychlostí a zároveň padá k zemi z výšky 1 m. Jedná se o vodorovný vrh. Musíme vypočítat, jak dlouho bude padat na zem a jakou vzdálenost za tu dobu urazí vodorovně.

Hodnoty ze zadání (převedené na jednotky SI):

• Hmotnost míče: $m_1 = 0,43 \, \text{kg}$
• Hmotnost brankáře: $m_2 = 80 \, \text{kg}$
• Rychlost míče: $v_1 = 126 \, \text{km/h} = \frac{126}{3,6} \, \text{m/s} = 35 \, \text{m/s}$
• Počáteční rychlost brankáře: $v_2 = 0 \, \text{m/s}$ (předpokládáme, že v okamžiku chycení nemá žádnou vodorovnou rychlost)
• Výška pádu: $h = 1 \, \text{m}$
• Vzdálenost od čáry: $s_{cíl} = 0,5 \, \text{m}$

Porovnáme vypočtenou dráhu letu $s_{let}$ se vzdáleností $s_{cíl}$.

Výběr fyzikálních rovnic

Pro vyřešení budeme potřebovat tři klíčové rovnice:

1. Zákon zachování hybnosti pro nepružnou srážku.
2. Vztah pro volný pád k určení doby pádu.
3. Vztah pro rovnoměrný přímočarý pohyb k určení vodorovné dráhy.

Algebraické vyjádření

Postupujeme krok za krokem:

1. Nejprve ze zákona zachování hybnosti vyjádříme společnou rychlost $v_{spol}$. Protože $v_2=0$, vzorec se zjednoduší: $$ v_{spol} = \frac{m_1 \cdot v_1}{m_1 + m_2} $$
2. Poté z rovnice pro volný pád vyjádříme čas pádu $t$: $$ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} $$
3. Nakonec tyto dva výsledky dosadíme do rovnice pro dráhu $s_{let}$: $$ s_{let} = \left( \frac{m_1 \cdot v_1}{m_1 + m_2} \right) \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} $$

Dosazení a výpočet

Nejprve vypočítáme společnou rychlost po srážce:

Dále vypočítáme dobu pádu z výšky 1 m (použijeme $g \approx 10 \, \text{m/s}^2$):

Nakonec vypočítáme dráhu, kterou za tuto dobu brankář urazí:

Kontrola a odpověď

Porovnáme vypočtenou dráhu s potřebnou vzdáleností pro překročení brankové čáry:

Vypočtená dráha je výrazně menší než vzdálenost k brankové čáře. Z toho plyne, že brankář s míčem za čáru nedoletí. Hlavním důvodem je obrovský rozdíl v hmotnosti mezi míčem a brankářem, kvůli kterému je společná rychlost po srážce velmi malá.

Odpověď: Není žádná šance, že by brankář byl s míčem odnesen až za brankovou čáru. Posune se pouze o přibližně 8,4 cm.

Princip a příprava hodnot

Platí zákon zachování hybnosti. Před výstřelem je celá soustava (pistole + střela) v klidu → celková hybnost je nulová. Po výstřelu musí celková hybnost zůstat nulová.

Příprava hodnot (pozor na jednotky!):

• Hmotnost střely: $m_s = 2$ g = $0{,}002$ kg
• Rychlost střely: $v_s = 300$ m·s⁻¹
• Hmotnost pistole: $m_p = 2$ kg
• Zpětná rychlost pistole: $v_p = ?$

Vyjádření zpětné rychlosti

Z rovnice zákona zachování hybnosti si vyjádříme neznámou rychlost pistole:

Výpočet

Dosadíme známé hodnoty:

Interpretace výsledku

Záporné znaménko nám říká, že směr pohybu pistole je opačný ke směru pohybu střely.

Odpověď

Zpětná rychlost pistole je 0,3 m·s⁻¹ a její směr je přesně opačný ke směru letu střely.

Poznámka: Toto je důvod, proč střelci musí pistoli pevně držet a očekávat zpětný ráz.

Příprava hodnot

Jedná se o nepružnou srážku - tělesa se po srážce spojí a pohybují společně.

• Vagón 1: $m_1 = 2 \times 10^4$ kg, $v_1 = 0{,}5$ m·s⁻¹
• Vagón 2: $m_2 = \frac{1}{2}m_1 = 1 \times 10^4$ kg, $v_2 = 0{,}4$ m·s⁻¹
• Celková hmotnost po spojení: $M = m_1 + m_2 = 3 \times 10^4$ kg

a) Pohyb stejným směrem 🚂➡️ 🚂➡️

Celková hybnost před srážkou se rovná hybnosti spojených vagónů:

Odpověď a): Společná rychlost vagónů bude 0,47 m·s⁻¹ ve stejném směru.

b) Pohyb proti sobě 🚂➡️ ⬅️🚂

Rychlost druhého vagónu považujeme za zápornou: $v_2 = -0{,}4$ m·s⁻¹

Kladný výsledek znamená pohyb ve směru původního pohybu prvního (těžšího) vagónu.

Odpověď b): Společná rychlost vagónů bude 0,2 m·s⁻¹ ve směru původního pohybu prvního vagónu.

c) Pohyb navzájem kolmo 🚂➡️ 🚂⬆️

Hybnost je vektor. Pro kolmé směry použijeme Pythagorovu větu:

Odpověď c): Společná rychlost vagónů bude 0,36 m·s⁻¹ směrem úhlopříčně.

Zadané hodnoty

• Hmotnost Karla: $m_K = 60$ kg
• Hmotnost medicimbalu: $m_M = 4$ kg
• Rychlost medicimbalu před chycením: $v_M = 5$ m/s
• Rychlost Karla před chycením: $v_K = 0$ m/s

Zákon zachování hybnosti

Celková hybnost před chycením = Celková hybnost po chycení

Výpočet rychlosti

Odpověď: Karel se rozjel rychlostí 0,31 m/s.

Analýza situace

Úkolem je porovnat hybnost dvou různých vozidel a najít takovou rychlost lehčího vozidla, aby se jeho hybnost vyrovnala hybnosti těžšího vozidla. Hybnost je fyzikální veličina, která popisuje "pohybový stav" tělesa a závisí jak na jeho hmotnosti, tak na jeho rychlosti.

Hodnoty ze zadání:

• Dodávka (objekt 1): $m_1 = 3,5 \, \text{tuny} = 3500 \, \text{kg}$, $v_1 = 60 \, \text{km/h}$
• Osobní auto (objekt 2): $m_2 = 1,5 \, \text{tuny} = 1500 \, \text{kg}$

Hledáme rychlost osobního auta $v_2$ za podmínky, že jejich hybnosti jsou si rovny: $p_1 = p_2$. Poznámka: Protože porovnáváme stejné jednotky na obou stranách rovnice, nemusíme v tomto konkrétním případě převádět km/h na m/s. Výsledek nám vyjde rovnou v km/h.

Výběr fyzikální rovnice

Základním vztahem pro výpočet je definice hybnosti. Podmínka ze zadání nám pak dává rovnost hybností obou vozidel.

Algebraické vyjádření

Naším cílem je vypočítat rychlost osobního auta $v_2$. Z rovnice $m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2$ si tuto neznámou vyjádříme tak, že celou rovnici vydělíme hmotností $m_2$.

Získáme tak finální vzorec pro výpočet:

Dosazení a výpočet

Nyní dosadíme zadané číselné hodnoty do odvozeného vzorce.

Výsledek výpočtu je:

Kontrola a odpověď

Zkontrolujme logiku: Osobní auto je lehčí než dodávka. Aby mělo stejnou hybnost, musí se pohybovat výrazně rychleji. Výsledek 140 km/h je více než dvojnásobek rychlosti dodávky, což odpovídá tomu, že hmotnost auta je méně než poloviční. Výsledek dává smysl.

Odpověď: Osobní auto by muselo jet rychlostí 140 km/h, aby mělo stejnou hybnost jako dodávka.

Analýza situace

Tento příklad ukazuje klíčovou vlastnost hybnosti: je to vektorová veličina. To znamená, že kromě velikosti má i směr. Celková hybnost soustavy je dána vektorovým součtem hybností jednotlivých těles. Podle toho, jaké směry mají rychlosti těles, se bude lišit i způsob výpočtu celkové hybnosti.

Nejprve si vypočítáme velikosti hybností obou těles:

• Těleso 1: $p_1 = m_1 \cdot v_1 = 5 \, \text{kg} \cdot 2 \, \text{m/s} = 10 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$
• Těleso 2: $p_2 = m_2 \cdot v_2 = 3 \, \text{kg} \cdot 4 \, \text{m/s} = 12 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$

Nyní budeme tyto dvě hybnosti sčítat podle pravidel pro vektory pro tři různé případy.

Výběr fyzikálních rovnic

Základní vztah je vektorový součet hybností. Pro každý případ se tento obecný vztah zjednoduší na specifickou rovnici pro výpočet velikosti výsledné hybnosti $p$.

a) Stejný směr: Vektory leží na jedné přímce a míří stejným směrem. Jejich velikosti se jednoduše sčítají. $$ p = p_1 + p_2 $$ b) Opačný směr: Vektory leží na jedné přímce, ale míří proti sobě. Velikost výsledku je absolutní hodnota jejich rozdílu. $$ p = |p_1 - p_2| $$ c) Kolmé směry: Vektory jsou na sebe kolmé. Tvoří odvěsny pravoúhlého trojúhelníku a výsledná hybnost je jeho přepona. Velikost vypočítáme pomocí Pythagorovy věty. $$ p = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} $$

Algebraické vyjádření

V předchozím kroku jsme si již připravili všechny potřebné vzorce pro jednotlivé případy. Nyní do nich stačí dosadit.

Dosazení a výpočet

Dosadíme vypočtené hodnoty $p_1 = 10 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$ a $p_2 = 12 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$.

a) Stejný směr: $$ p = 10 + 12 = 22 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} $$

b) Opačný směr: $$ p = |10 - 12| = |-2| = 2 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} $$

c) Kolmé směry: $$ p = \sqrt{10^2 + 12^2} = \sqrt{100 + 144} = \sqrt{244} \approx 15,62 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} $$

Kontrola a odpověď

Výsledky dávají smysl. Největší celková hybnost je, když se oba pohybují stejným směrem (jejich účinky se sčítají). Nejnižší je, když se pohybují proti sobě (jejich účinky se odčítají). Případ kolmého pohybu je mezi těmito dvěma extrémy.

Odpověď: Velikost celkové hybnosti systému je:
a) 22 kg·m/s, pokud se pohybují stejným směrem.
b) 2 kg·m/s, pokud se pohybují proti sobě.
c) přibližně 15,62 kg·m/s, pokud se pohybují kolmo na sebe.

Analýza situace

Kosmonaut a jeho kladivo tvoří na začátku jeden systém, který je v klidu (vůči sobě navzájem). Když kosmonaut odhodí kladivo, působí na něj silou a kladivo působí stejně velkou, ale opačně orientovanou silou zpět na kosmonauta (zákon akce a reakce). Vzhledem k tomu, že na systém kosmonaut+kladivo nepůsobí žádné vnější síly, musí se zachovat jeho celková hybnost.

Protože byla počáteční hybnost nulová, musí být i konečná hybnost (součet hybnosti kosmonauta a kladiva) nulová. To znamená, že hybnost kosmonauta bude stejně velká, ale opačně orientovaná než hybnost kladiva.

Hodnoty ze zadání:

• Hmotnost kladiva: $m_k = 5 \, \text{kg}$
• Rychlost odhozeného kladiva: $v_k = 10,5 \, \text{m/s}$
• Původní hmotnost kosmonauta s vybavením: $90 \, \text{kg}$
• Hmotnost kosmonauta po odhození: $m_a = 90 \, \text{kg} - 5 \, \text{kg} = 85 \, \text{kg}$
• Rychlost vzdalující se lodi: $v_{loď} = 0,6 \, \text{m/s}$

Potřebujeme vypočítat rychlost kosmonauta $v_a$ a porovnat ji s rychlostí lodi.

Výběr fyzikální rovnice

Klíčovým principem je zákon zachování hybnosti pro izolovanou soustavu.

Před odhozením byl systém v klidu, takže $p_{před} = 0$. Po odhození je celková hybnost součtem hybnosti kosmonauta a kladiva.

Algebraické vyjádření

Naším cílem je vypočítat rychlost kosmonauta $v_a$. Z rovnice $0 = m_a \cdot v_a + m_k \cdot v_k$ si tuto neznámou vyjádříme.

Vydělením hmotností kosmonauta $m_a$ získáme finální vzorec:

Záporné znaménko ve výsledku znamená, že směr pohybu kosmonauta bude přesně opačný než směr, kterým odhodil kladivo.

Dosazení a výpočet

Dosadíme hodnoty do odvozeného vzorce. Je důležité použít hmotnost kosmonauta po odhození kladiva.

Výsledek výpočtu je:

Kontrola a odpověď

Kosmonaut se po odhození kladiva pohybuje rychlostí o velikosti přibližně $0,618 \, \text{m/s}$ opačným směrem, než letí kladivo. Předpokládáme, že kladivo odhodil směrem od lodi, aby se sám pohyboval směrem k lodi.

Nyní porovnáme rychlost kosmonauta s rychlostí, kterou se od něj loď vzdaluje:

Rychlost kosmonauta směrem k lodi je o něco větší než rychlost, kterou se loď vzdaluje. To znamená, že kosmonaut bude pomalu zmenšovat vzdálenost mezi sebou a lodí a nakonec ji dostihne.

Odpověď: Ano, kosmonaut se zachrání. Jeho rychlost bude o trochu vyšší než rychlost vzdalující se lodi.

Analýza situace

Jde o dokonale nepružnou srážku, při které se kulka spojí s padouchem. Pro takový děj platí zákon zachování hybnosti. Porovnáme hybnost kulky před srážkou s hybností soustavy padouch+kulka po srážce.

Data: $m_k = 0,003 \, \text{kg}$, $v_k = 800 \, \text{m/s}$, $m_p = 80 \, \text{kg}$

Výběr fyzikální rovnice

Zákon zachování hybnosti: hybnost soustavy před srážkou se rovná hybnosti po srážce.

Algebraické vyjádření

Hledáme společnou rychlost $v_{spol}$. Protože hmotnost kulky je zanedbatelná vůči hmotnosti padoucha ($m_p + m_k \approx m_p$), můžeme vzorec zjednodušit.

Dosazení a výpočet

Dosadíme hodnoty do zjednodušeného vzorce.

Kontrola a odpověď

Výsledná rychlost je 0,03 m/s, což jsou pouhé 3 cm/s. To je velmi pomalý pohyb, který by byl sotva postřehnutelný.

Odpověď: Filmové scény, kde padouch po zásahu odletí několik metrů, jsou fyzikálně naprosto nereálné.

Analýza situace

Raketový motor pracuje na principu zákona zachování hybnosti - vystřelování spalných plynů jedním směrem způsobí pohyb sondy opačným směrem.

Data: hmotnost sondy $M = 3,2 \, \text{t} = 3200 \, \text{kg}$, změna rychlosti sondy $\Delta v_s = 50 \, \text{m/s}$, rychlost výstřiku plynů $v_p = 3 \, \text{km/s} = 3000 \, \text{m/s}$

Výběr fyzikální rovnice

Použijeme vztah pro raketový motor (odvozený ze zákona zachování hybnosti):

kde $m_p$ je hmotnost spotřebovaného paliva a $v_p$ je rychlost výstřiku plynů.

Algebraické vyjádření

Vyjádříme hmotnost spotřebovaného paliva:

Dosazení a výpočet

Kontrola a odpověď

Ověření předpokladu: Spotřebované palivo (53,3 kg) je pouze 1,7 % celkové hmotnosti sondy (3200 kg), takže předpoklad o zanedbatelné změně hmotnosti je oprávněný.

Jednotky: kg ✓

Odpověď: Kosmická sonda spotřebuje přibližně 53,3 kg pohonných hmot. Předpoklad o zanedbatelné změně hmotnosti je platný.

Analýza situace

Problém s úplností zadání: Toto zadání je neúplné - chybí informace o hmotnosti první kostky, rychlostech obou kostek před srážkou a rychlostech po srážce.

Pro ilustraci ukážeme obecné řešení pro pružnou srážku dvou těles na ledě (bez tření).

Výběr fyzikálních rovnic

Pro pružnou srážku platí současně dva zákony:

kde indexy 1,2 značí první a druhou kostku, apostrofy (') označují rychlosti po srážce.

Algebraické vyjádření

Z těchto dvou rovnic lze vyjádřit rychlosti po srážce:

Pokud známe rychlosti a jednu hmotnost, můžeme z těchto vztahů vyjádřit druhou hmotnost.

Speciální případy

Stejné hmotnosti ($m_1 = m_2$): Kostky si vymění rychlosti.

Druhá kostka v klidu ($v_2 = 0$):

Odpověď k zadání

Úplné řešení nelze poskytnout bez konkrétních číselných hodnot. Pro určení hmotnosti druhé kostky potřebujeme:

• Hmotnost první kostky $m_1$
• Rychlosti obou kostek před srážkou ($v_1$, $v_2$)
• Rychlosti obou kostek po srážce ($v_1'$, $v_2'$)

Teprve s těmito údaji můžeme použít zákony zachování k určení $m_2$.

Analýza situace

Máme zde dva vagony, které se srazí a následně se pohybují jako jeden celek. Jedná se o dokonale nepružnou srážku. Pro řešení takových úloh je klíčový zákon zachování hybnosti, který říká, že celková hybnost soustavy před srážkou je stejná jako celková hybnost po srážce.

Zvolíme si směr doprava jako kladný (+). Obě rychlosti tedy budou mít kladné znaménko.

Data:

• Vagon 1: $m_1 = 5 \, \text{tun} = 5000 \, \text{kg}$, $v_1 = +4 \, \text{m/s}$
• Vagon 2: $m_2 = 10 \, \text{tun} = 10000 \, \text{kg}$, $v_2 = +1 \, \text{m/s}$

Hledáme společnou rychlost po srážce $v_{spol}$.

Výběr fyzikální rovnice

Zákon zachování hybnosti: součet hybností obou vagonů před srážkou se rovná hybnosti spojených vagonů po srážce.

Algebraické vyjádření

Naším cílem je vypočítat společnou rychlost $v_{spol}$. Z rovnice ji vyjádříme vydělením celkovou hmotností $(m_1 + m_2)$.

Dosazení a výpočet

Dosadíme číselné hodnoty do odvozeného vzorce.

Kontrola a odpověď

Výsledná rychlost (2 m/s) je kladná, takže se spojené vagony pohybují doprava. Její hodnota leží mezi původními rychlostmi (mezi 1 m/s a 4 m/s), což je logický výsledek – rychlejší vagon zpomalil a pomalejší zrychlil.

Odpověď: Rychlost spojených vagonů po srážce bude 2 m/s směrem doprava.

Analýza situace

Situace je podobná, ale nyní se těžší vagon pohybuje opačným směrem. To je klíčové, protože hybnost je vektorová veličina.

Zachováme naši volbu: směr doprava je kladný (+), směr doleva je tedy záporný (-).

Data:

• Vagon 1: $m_1 = 5000 \, \text{kg}$, $v_1 = +4 \, \text{m/s}$
• Vagon 2: $m_2 = 10000 \, \text{kg}$, $v_2 = -3 \, \text{m/s}$ (pohybuje se doleva)

Výběr fyzikální rovnice

Rovnice je stále stejná – zákon zachování hybnosti. Musíme si však dát pozor na správné dosazení znamének u rychlostí.

Algebraické vyjádření

Vyjádření pro $v_{spol}$ je formálně stejné jako v předchozím případě.

Dosazení a výpočet

Nyní dosadíme hodnoty včetně záporného znaménka pro $v_2$.

Kontrola a odpověď

Výsledek je záporný. To znamená, že po srážce se spojené vagony budou pohybovat doleva. To dává smysl, protože hybnost těžšího vagonu ($p_2 = 10000 \cdot (-3) = -30000 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$) byla v absolutní hodnotě větší než hybnost lehčího vagonu ($p_1 = 5000 \cdot 4 = 20000 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$). Směr pohybu po srážce určil vagon s větší počáteční hybností.

Odpověď: Rychlost spojených vagonů bude přibližně 0,67 m/s směrem doleva.

Analýza situace

V tomto případě je cílový stav znám: vagony se zastaví. To znamená, že jejich společná rychlost po srážce je nulová. Naším úkolem je najít takovou počáteční rychlost těžšího vagonu, aby k tomu došlo.

Data:

• Vagon 1: $m_1 = 5000 \, \text{kg}$, $v_1 = +4 \, \text{m/s}$
• Vagon 2: $m_2 = 10000 \, \text{kg}$
• Společná rychlost: $v_{spol} = 0 \, \text{m/s}$

Hledáme rychlost $v_2$.

Výběr fyzikální rovnice

Opět vycházíme ze zákona zachování hybnosti. Pokud je konečná rychlost nulová, je i celková hybnost po srážce nulová.

To znamená, že součet počátečních hybností musí být nula: $m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 0$.

Algebraické vyjádření

Z rovnice $m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 0$ vyjádříme neznámou rychlost $v_2$.

Dosazení a výpočet

Dosadíme známé hodnoty.

Kontrola a odpověď

Výsledek je záporný, což znamená, že se těžší vagon musí pohybovat doleva, což je logické. Jeho hybnost ($10000 \cdot (-2) = -20000$) musí být přesně opačná k hybnosti prvního vagonu ($5000 \cdot 4 = 20000$), aby se navzájem vyrušily.

Odpověď: Těžší vagon by se musel pohybovat rychlostí 2 m/s směrem doleva, aby se po srážce oba zastavily.

Analýza situace

V této variantě známe počáteční i konečné rychlosti, ale neznáme hmotnost druhého vagonu. Opět jde o nepružnou srážku a platí zákon zachování hybnosti.

Data:

• Vagon 1: $m_1 = 5000 \, \text{kg}$, $v_1 = +4 \, \text{m/s}$
• Vagon 2: $v_2 = +1 \, \text{m/s}$
• Společná rychlost: $v_{spol} = +3,2 \, \text{m/s}$

Hledáme hmotnost druhého vagonu $m_2$.

Výběr fyzikální rovnice

Vycházíme ze standardní rovnice zákona zachování hybnosti.

Algebraické vyjádření

Toto je algebraicky nejnáročnější úprava. Potřebujeme z rovnice osamostatnit neznámou $m_2$.

1. Roznásobíme závorku na pravé straně: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_{spol} + m_2 v_{spol}$

2. Převedeme všechny členy s $m_2$ na jednu stranu a ostatní na druhou: $m_1 v_1 - m_1 v_{spol} = m_2 v_{spol} - m_2 v_2$

3. Vytkneme $m_1$ a $m_2$: $m_1 (v_1 - v_{spol}) = m_2 (v_{spol} - v_2)$

4. Vydělíme a získáme finální vzorec pro $m_2$:

Dosazení a výpočet

Dosadíme zadané hodnoty rychlostí.

Kontrola a odpověď

Výsledná rychlost (3,2 m/s) je mnohem blíže k počáteční rychlosti prvního vagonu (4 m/s) než druhého (1 m/s). To znamená, že první vagon měl výrazně větší "vliv" na výsledek, což implikuje, že musel být těžší. Náš výsledek ($m_2 \approx 1818$ kg) je menší než $m_1 = 5000$ kg, což potvrzuje naši logickou úvahu.

Odpověď: Druhý vagon by musel mít hmotnost přibližně 1818 kg (cca 1,8 tuny).

Analýza situace

Jedná se o dokonale nepružnou srážku dvou těles pohybujících se proti sobě. Klíčovým nástrojem pro řešení je zákon zachování hybnosti. Protože je hybnost vektorová veličina, musíme si zvolit kladný směr. Zvolme směr zleva doprava jako kladný (+).

Data a vztahy:

• Vagon 1: hmotnost $m_1$, rychlost $v_1 = +1,6 \, \text{m/s}$
• Vagon 2: hmotnost $m_2$, rychlost $v_2 = -1,2 \, \text{m/s}$ (jede doleva)
• Vztah hmotností: $m_2 = m_1 + 0,5 \cdot m_1 = 1,5 \cdot m_1$

Hledáme společnou rychlost $v_{spol}$ po srážce. Absolutní hodnotu hmotnosti $m_1$ neznáme, ale uvidíme, že ji nebudeme potřebovat.

Výběr fyzikální rovnice

Použijeme zákon zachování hybnosti: celková hybnost před srážkou se rovná celkové hybnosti po srážce.

Algebraické vyjádření

Do rovnice dosadíme vztah mezi hmotnostmi $m_2 = 1,5 \cdot m_1$:

Na obou stranách rovnice můžeme vytknout $m_1$:

Protože $m_1$ je na obou stranách, můžeme jím rovnici vydělit (zkrátit). Tím se ho zbavíme a můžeme vyjádřit $v_{spol}$:

Dosazení a výpočet

Nyní dosadíme číselné hodnoty rychlostí do odvozeného vzorce. Nezapomeneme na záporné znaménko u $v_2$.

Kontrola a odpověď

Výsledná rychlost vyšla záporná, což znamená, že se spojené vagony pohybují směrem doleva. To dává smysl, protože hybnost druhého vagonu ($p_2 = m_2 v_2 = 1,5 m_1 \cdot (-1,2) = -1,8 m_1$) byla v absolutní hodnotě větší než hybnost prvního vagonu ($p_1 = m_1 v_1 = 1,6 m_1$). Směr pohybu tedy určil vagon s větší počáteční hybností.

Odpověď: Výsledná rychlost spojených vagonů je 0,08 m/s směrem zprava doleva.

Analýza situace

Jedná se o dokonale nepružnou srážku ve dvou rozměrech. Dva kousky modelíny se spojí a pohybují se dál společně. Klíčovým principem je zákon zachování hybnosti, který platí ve vektorovém tvaru: součet vektorů hybností před srážkou se rovná vektoru hybnosti po srážce.

Zavedeme souřadnicový systém: osa x směřuje podélně kluziště (směr prvního kousku), osa y napříč kluzištěm (směr druhého kousku).

Data (v SI jednotkách):

• Modelína 1: $m_1 = 0,2 \, \text{kg}$, $\vec{v}_1 = (5; 0) \, \text{m/s}$
• Modelína 2: $m_2 = 0,3 \, \text{kg}$
• Celková hmotnost: $M = m_1 + m_2 = 0,5 \, \text{kg}$

Výběr fyzikálních rovnic

Budeme pracovat s vektorovými rovnicemi pro hybnost a rychlost.

Algebraické vyjádření

Postupujeme podle jednotlivých podúloh:

a) Vektor rychlosti $\vec{v}_2$: Pohybuje se kolmo k prvnímu, tedy pouze ve směru osy y.

b) Vektory hybností $\vec{p}_1, \vec{p}_2$:

c) Celková hybnost před srážkou $\vec{p}_{celk}$:

d) Hybnost slepence po srážce $\vec{p}_{spol}$:

e) Úhel rychlosti $\alpha$: Vektor rychlosti $\vec{v}_{spol}$ má stejný směr jako vektor hybnosti $\vec{p}_{spol}$.

Dosazení a výpočet

a) Vektor rychlosti $\vec{v}_2$:

b) Vektory hybností $\vec{p}_1, \vec{p}_2$:

c) Celková hybnost před srážkou:

d) Hybnost slepence po srážce:

e) Úhel rychlosti $\alpha$:

Kontrola a odpověď

Výsledky na sebe logicky navazují. Celková hybnost je vektorovým součtem původních hybností a po srážce se zachovává. Výsledný směr pohybu je "mezi" původními směry, což odpovídá intuici.

Odpověď:
a) $\vec{v}_2 = (0; 2) \, \text{m/s}$
b) $\vec{p}_1 = (1; 0) \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$, $\vec{p}_2 = (0; 0,6) \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$
c) $\vec{p}_{celk} = (1; 0,6) \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$
d) $\vec{p}_{spol} = (1; 0,6) \, \text{kg} \cdot \text{m/s}$
e) Rychlost slepence svírá s původní rychlostí $\vec{v}_1$ úhel přibližně 31°.

Příprava hodnot a převod jednotek

Nejdříve si připravíme všechne potřebné údaje v základních jednotkách:

• Frekvence: $f = 8$ Hz (pulsar se otočí 8krát za sekundu!)
• Průměr: $d = 15$ km $= 15\,000$ m
• Poloměr: $r = \frac{d}{2} = 7\,500$ m

Výpočet úhlové rychlosti

Úhlová rychlost $\omega$ udává, jaký úhel opíše těleso za jednotku času:

Výpočet obvodové rychlosti

Obvodová rychlost bodu na rovníku pulsaru:

To je 377 km/s! Pro srovnání:

• Rychlost zvuku ve vzduchu: cca 0,34 km/s
• Tento bod se pohybuje více než 1000krát rychleji než zvuk

Výpočet dostředivého zrychlení

Dostředivé zrychlení udržuje těleso na kruhové dráze:

Pro představu - tíhové zrychlení na Zemi je $g \approx 9{,}81$ m·s⁻². Zrychlení na povrchu pulsaru je zhruba 2 milionkrát větší!

Odpověď a interpretace

Rychlost bodu na rovníku pulsaru: 377 000 m·s⁻¹ (377 km/s)

Dostředivé zrychlení: 1,9×10⁷ m·s⁻²

Tato čísla jsou vpravdě astronomická. Pulsar je jeden z nejextrémějších objektů ve vesmíru!

Analýza situace

Zadání je trochu nejednoznačné. Fráze "pohybuje se po kružnici o poloměru 0,6 m" by mohla znamenat zatáčení, ale poloměr 0,6 m je pro auto nereálný.

Pravděpodobněji je poloměr pneumatiky 0,6 m a vozidlo se pohybuje přímočaře. Rychlost vozidla (20 m·s⁻¹) je zároveň obvodovou rychlostí bodů na povrchu pneumatiky.

• Obvodová rychlost: $v = 20$ m·s⁻¹ (72 km/h)
• Poloměr pneumatiky: $r = 0{,}6$ m

Výpočet úhlové rychlosti

Ze vztahu pro obvodovou rychlost $v = \omega \times r$ si vyjádříme úhlovou rychlost:

To odpovídá frekvenci:

Pneumatika se otočí asi 5,3krát za sekundu.

Výpočet dostředivého zrychlení

Dostředivé zrychlení bodu na povrchu pneumatiky směřující do středu kola:

Pro porovnání s tíhovým zrychlením:

Dostředivé zrychlení je téměř 68krát větší než tíhové zrychlení!

Fyzikální význam

Na každý kousek gumy na povrchu pneumatiky působí obrovská dostředivá síla. Toto vysvětluje:

• Proč se pneumatiky při vysokých rychlostech opotřebovávají
• Proč musí být pneumatiky vyrobeny z pevných materiálů
• Proč se pneumatiky při rychlé jízdě zahřívají

Odpověď

Úhlová rychlost pneumatiky: 33,3 rad·s⁻¹

Dostředivé zrychlení bodu na povrchu: 666,7 m·s⁻² (68krát větší než tíhové zrychlení)

Analýza situace

Úloha je kvalitativní a vyžaduje analýzu sil působících na sedačku řetízkového kolotoče. Sedačka vykonává rovnoměrný pohyb po kružnici v horizontální rovině. Aby mohla zatáčet (pohybovat se po kružnici), musí na ni působit výsledná síla směřující do středu kružnice. Tato síla se nazývá dostředivá síla. Dostředivá síla není nová, samostatná síla, ale je to výslednice reálně působících sil.

Výběr fyzikálních principů

Identifikujeme všechny reálné síly, které na sedačku působí, a provedeme jejich vektorový součet podle 2. Newtonova zákona.

Reálně působící síly jsou pouze dvě:

1. Tíhová síla $\vec{F}_g$: Působí svisle dolů. Je způsobena gravitací Země.
2. Tahová síla řetězu $\vec{F}_t$: Působí podél řetězu, tedy šikmo vzhůru a do středu.

Silový diagram

Nakreslíme si tzv. silový diagram (free-body diagram), kde sedačku znázorníme jako bod a síly jako vektory vycházející z tohoto bodu.

Na obrázku by bylo vidět, že vektorový součet tíhové síly $\vec{F}_g$ a tahové síly řetězu $\vec{F}_t$ dává výslednici $\vec{F}_d$, která směřuje vodorovně do středu otáčení.

Rozklad sil

Pro lepší pochopení můžeme tahovou sílu řetězu $\vec{F}_t$ rozložit na dvě složky:

• Svislá složka $\vec{F}_{t,y}$: Směřuje vzhůru a je v rovnováze s tíhovou silou $\vec{F}_g$. Proto se sedačka nepohybuje nahoru ani dolů. Platí: $|\vec{F}_{t,y}| = |\vec{F}_g|$.
• Vodorovná složka $\vec{F}_{t,x}$: Směřuje do středu kružnice. Tato složka nemá co vyrovnávat a je to právě ona, která tvoří výslednou dostředivou sílu $\vec{F}_d$. Platí: $\vec{F}_{t,x} = \vec{F}_d$.

Závěr a odpověď

Na sedačku působí dvě reálné síly: tíhová síla a tahová síla řetězu. Jejich vektorovým součtem je dostředivá síla, která udržuje sedačku v kruhovém pohybu.

Odpověď: Na sedačku působí tíhová síla (svisle dolů) a tahová síla řetězu (šikmo vzhůru podél řetězu).

Základní princip

Chování míčku závisí na tom, zda se jeho okolí (vlak, výtah) pohybuje rovnoměrně nebo se zrychlením.

• Rovnoměrný pohyb: inerciální soustava → míček se chová normálně
• Zrychlený pohyb: neinerciální soustava → objevují se setrvačné síly

a) Pohyb míčku ve vlaku

1. Vlak jede rovnoměrně:

• Vlak = inerciální soustava
• Míček spadne přímo dolů k nohám
• Míček má stejnou vodorovnou rychlost jako vlak

2. Vlak zrychluje (rozjíždí se):

• Podlaha vlaku zrychluje dopředu
• Míček si zachovává původní (menší) rychlost
• Míček spadne šikmo dozadu
• Z pohledu ve vlaku: setrvačná síla tlačí míček dozadu

3. Vlak zpomaluje (brzdí):

• Vlak zpomaluje, míček si zachovává vyšší rychlost
• Míček spadne šikmo dopředu
• Z pohledu ve vlaku: setrvačná síla tlačí míček dopředu

b) Pohyb míčku ve výtahu

1. Výtah jede konstantní rychlostí (nahoru i dolů):

• Výtah = inerciální soustava
• Míček padá s normálním tíhovým zrychlením $g$
• Cítíte se stejně těžce jako obvykle

2. Výtah zrychluje nahoru (nebo brzdí při jízdě dolů):

• Zrychlení směřuje nahoru
• Cítíte se těžší
• Míček padá k podlaze rychleji než normálně
• Setrvačná síla působí směrem dolů

3. Výtah zrychluje dolů (nebo brzdí při jízdě nahoru):

• Zrychlení směřuje dolů
• Cítíte se lehčí
• Míček padá k podlaze pomaleji než normálně
• Setrvačná síla působí směrem nahoru

Extrémní případ - volný pád výtahu:

• Výtah zrychluje dolů s $a = g$
• Stav beztíže - cítíte se jako ve vesmíru
• Míček se vedle vás jen vznáší

Fyzikální vysvětlení

Míček se "snaží" zachovat svou původní rychlost (setrvačnost), zatímco prostředí kolem něj mění rychlost. Výsledkem je relativní pohyb míčku vůči prostředí.

Praktické aplikace

• Bezpečnostní pásy v autě: při brzdění se tělo snaží pokračovat dopředu
• Rozlévání nápojů: při zrychlení se tekutina vykloní
• Astronaut trénink: simulace beztíže ve volně padajícím letadle
• Detekce zrychlení: akcelerometry využívají principu setrvačnosti

Analýza situace

Tento příklad obsahuje pět samostatných úloh, které jsou všechny aplikací druhého Newtonova zákona ($\vec{F} = m \cdot \vec{a}$) a základních kinematických vztahů. U úloh se silami je klíčové správně identifikovat všechny působící síly a jejich směry.

Výběr fyzikálních rovnic

Pro všechny úlohy budeme potřebovat následující základní rovnice:

Algebraické vyjádření

Pro každou podúlohu si vyjádříme hledanou veličinu:

a) $a = F_g / m$
b) $F_{vysl} = m \cdot a$; $F_{tah} = F_{vysl} + F_g = m(a+g)$
c) $m = F / a$
d) $F_{vysl} = F_g - F_{odpor}$; $a = F_{vysl} / m$
e) $a = F / m$; $t = v / a$

Dosazení a výpočet

a) Pád na Měsíci: ($m=0,5$ kg)

b) Výtah vzhůru: ($m=400$ kg)

c) Brzděný vozík:

d) Padající míč: ($m=0,4$ kg)

e) Roztlačování vozíku: ($m=250$ kg)

Odpovědi

a) Zrychlení na Měsíci je 1,6 m/s².
b) Výsledná síla na výtah je 600 N. Síla tahu lana je 4600 N.
c) Hmotnost vozíku je 50 kg.
d) Zrychlení míče je 6 m/s².
e) Vozík dosáhne rychlosti běhu za 5 sekund.

Analýza situace

Úloha popisuje pohyb výtahu vzhůru, který se skládá ze tří fází: rozjezd (rovnoměrně zrychlený pohyb), jízda konstantní rychlostí (rovnoměrný přímočarý pohyb) a zastavování (rovnoměrně zpomalený pohyb). V každé fázi musíme určit zrychlení a následně pomocí 2. Newtonova zákona vypočítat sílu napínající lano.

Na výtah působí dvě síly: tahová síla lana $\vec{F}_t$ (směrem vzhůru) a tíhová síla $\vec{F}_g$ (směrem dolů). Výslednice těchto sil uděluje výtahu zrychlení. Zvolíme směr vzhůru jako kladný (+).

Data: $m = 1200 \, \text{kg}$, $g \approx 10 \, \text{m/s}^2$.

Úseky pohybu z grafu:

• Úsek 1 (0-4 s): Rozjezd, rychlost roste z 0 na 2 m/s.
• Úsek 2 (4-10 s): Rovnoměrný pohyb rychlostí 2 m/s.
• Úsek 3 (10-12 s): Zastavování, rychlost klesá z 2 m/s na 0.

Výběr fyzikálních rovnic

Pro výpočet zrychlení z grafu: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$. Pro výpočet síly tahu lana použijeme 2. Newtonův zákon pro svislý směr:

Algebraické vyjádření

Nejprve si vypočítáme konstantní tíhovou sílu výtahu:

Pro každý úsek nyní vypočítáme zrychlení $a$ a dosadíme ho do rovnice $F_t = m(g+a)$.

Dosazení a výpočet pro jednotlivé úseky

Úsek 1: Rozjezd (0-4 s)

Výtah zrychluje směrem nahoru, zrychlení je kladné.

Úsek 2: Rovnoměrný pohyb (4-10 s)

Při konstantní rychlosti je zrychlení nulové.

Úsek 3: Zastavování (10-12 s)

Výtah zpomaluje, zrychlení je záporné (směřuje proti směru pohybu, tedy dolů).

Kontrola a odpověď

Výsledky dávají fyzikální smysl:

• Při rozjezdu vzhůru ($a > 0$) musí lano táhnout větší silou, než je tíha výtahu ($F_t > F_g$).
• Při rovnoměrném pohybu ($a = 0$) je síla lana rovna tíze výtahu ($F_t = F_g$).
• Při brzdění při jízdě vzhůru ($a < 0$) stačí menší síla než tíha výtahu ($F_t < F_g$), protože "brzdění" pomáhá tíhová síla.

Odpověď:
a) Během rozjezdu (0-4 s) je síla napínající lano 12 600 N.
b) Během rovnoměrné jízdy (4-10 s) je síla napínající lano 12 000 N.
c) Během zastavování (10-12 s) je síla napínající lano 10 800 N.