98. Komplexní rotační systém - větrná elektrárna

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Větrné elektrárny jsou špičkou moderní technologie - kombinují aerodynamiku, mechanické inženýrství a elektrotechniku. Rotorové listy se otáčejí pomalu (15-50 RPM) kvůli efektivitě, ale převodovka zvyšuje otáčky na 1500-1800 RPM pro generátor. Každý list má délku až 80 metrů a na špičce dosahuje rychlostí přes 300 km/h! Správné porozumění rotační kinematice je klíčové pro návrh, bezpečnost a optimalizaci výkonu těchto obnovitelných zdrojů energie.

Zadání

Větrná turbína má rotorové listy o poloměru 45 m. Rotor se otáčí frekvencí 25 RPM. Určete:

Řešení

1. Analýza situace a zadané hodnoty

Logika výběru: Komplexní rotační úloha kombinující všechny aspekty kinematiky - úhlovou rychlost, lineární rychlost, úhlové posunutí a převody jednotek. Ideální pro aplikaci všech naučených konceptů.
Pozor na jednotky! RPM musíme převést na Hz (otáčky za sekundu), pak na rad·s⁻¹. Pozor na správné převody mezi různými úhlovými jednotkami a rychlostními jednotkami.
Dané hodnoty:
  • Poloměr rotorových listů: r = 45 m
  • Frekvence v RPM: n = 25 otáček/min
  • Frekvence v Hz: f = 25/60 = 0,417 Hz
  • Čas pro část c): t = 10 s

2. Výběr fyzikálních rovnic

Proč tyto rovnice? Používáme kompletní sadu rotačních kinematických vztahů - od základních definic po složitější převody a kombinace.
$$\omega = 2\pi f \text{ (úhlová rychlost)}$$ $$v = \omega \cdot r \text{ (obvodová rychlost)}$$ $$\phi = \omega \cdot t \text{ (úhlové posunutí)}$$ $$\phi_{°} = \phi_{rad} \times \frac{180°}{\pi} \text{ (převod rad→°)}$$
Praktická analogie: Větrná turbína je jako obří ventilátor "pozpátku" - místo aby foukal vzduch, vzduch jej roztočí. Každý bod na listu má jinou rychlost - střed je pomalý, špička rychlá.

3. Systematické řešení všech částí

Užitečný tip: Větrné turbíny jsou navrženy tak, aby špička listu byla rychlejší než vítr (tip-speed ratio 6-8), ale ne příliš rychlá kvůli hluku a bezpečnosti.

Část a) Úhlová rychlost

$$f = \frac{25 \text{ otáček}}{60 \text{ s}} = 0{,}417 \text{ Hz}$$ $$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 0{,}417 = 2{,}62 \text{ rad·s⁻¹}$$

Část b) Rychlost špičky listu

$$v = \omega \times r = 2{,}62 \times 45 = 118 \text{ m·s⁻¹}$$ $$v = 118 \text{ m·s⁻¹} \times 3{,}6 = 425 \text{ km·h⁻¹}$$

Část c) Úhel pootočení za 10 s

$$\phi = \omega \times t = 2{,}62 \times 10 = 26{,}2 \text{ rad}$$ $$\phi = 26{,}2 \times \frac{180°}{\pi} = 26{,}2 \times 57{,}3 = 1\,501°$$ $$\text{Počet celých otáček} = \frac{1\,501°}{360°} = 4{,}17 \text{ otáček}$$

Část d) Porovnání s rychlostí větru

$$\text{Typická rychlost větru} = 12 \text{ m·s⁻¹} = 43 \text{ km·h⁻¹}$$ $$\text{Poměr} = \frac{118}{12} = 9{,}8 \times \text{ rychlejší než vítr}$$

4. Kontrola a interpretace výsledků

Kompletní odpověď:
  • a) Úhlová rychlost: 2,62 rad·s⁻¹
  • b) Rychlost špičky: 118 m·s⁻¹ (425 km·h⁻¹)
  • c) Úhel za 10 s: 26,2 rad (1 501°, tj. 4,17 otáček)
  • d) Rychlost špičky je 9,8× rychlejší než vítr
Kontrola rozumnosti: Rychlost 425 km/h na špičce listu je typická pro velké větrné turbíny. Poměr 9,8 k rychlosti větru je v optimálním rozsahu 6-10 pro efektivní záběr energie.
Alternativní metoda: Můžeme kontrolovat: obvod = 2π × 45 = 283 m, za 10 s ujede špička: 118 × 10 = 1180 m = 4,17 obvodu ✓
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč se větrné turbíny otáčejí pomalu (25 RPM) oproti automobilovým motorům (2000+ RPM)?
  • Jak by se změnily výsledky, kdyby byla turbína dvakrát větší (r = 90 m)?
  • Proč je důležité, aby špička listu nebyla rychlejší než určitá mezní hodnota?
  • Jak souvisí úhlová rychlost s výkonem elektrárny a směrem větru?
  • Jaké síly působí na špičku listu při těchto rychlostech a jak je konstrukce vydrží?