96. Převod ze stupňů na radiány

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Radiány jsou "přirozená" jednotka úhlu ve fyzice a vyšší matematice, protože zjednodušují mnoho vzorců. V diferenciálním počtu má derivace sin(x) jednoduchou formu pouze v radiánech. GPS navigace, robotika, počítačová grafika a radarové systémy používají výhradně radiány pro úhlové výpočty. V programování jsou všechny trigonometrické funkce standardně v radiánech. Proto je důležité ovládat rychlé převody mezi stupni a radiány.

Zadání

Najděte odpovídající úhly v radiánech: 45°, 30°, 60°, 90°, 180°, 270°, 50°, 75°

Řešení

1. Analýza situace a zadané hodnoty

Logika výběru: Radiány jsou založeny na poloměru kružnice - jeden radián je úhel, kde oblouk má délku rovnou poloměru. Proto 2π radiánů = celá kružnice = 360°.
Pozor na jednotky! Radián je "přírozená" jednotka úhlu. Jeden radián ≈ 57,3° - je to poměrně velký úhel! Zapamatujte si: π rad = 180°.
Dané hodnoty:
  • Zadané úhly: 45°, 30°, 60°, 90°, 180°, 270°, 50°, 75°
  • Cílová jednotka: radiány (rad)
  • Klíčová znalost: 180° = π rad

2. Výběr převodní rovnice

Proč tento vztah? Základní převodní vztah vychází z definice radiánu a faktu, že celá kružnice má 2π radiánů neboli 360°.
$$\text{radiány} = \text{stupně} \times \frac{\pi}{180°}$$

Alternativně: 180° = π rad

Praktická analogie: Převod stupňů na radiány je jako převod z "lidských" jednotek (stupně) na "matematické" jednotky (radiány) - podobně jako převod z mph na m/s.

3. Algebraické vyjádření a výpočet

Užitečný tip: Zapamatujte si základní převody: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π. Tyto úhly se objevují velmi často!

Základní úhly (ve zlomcích π)

$$45° = 45 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4} \text{ rad}$$ $$30° = 30 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6} \text{ rad}$$ $$60° = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \text{ rad}$$ $$90° = 90 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2} \text{ rad}$$

Velké a složitější úhly

$$180° = \pi \text{ rad}$$ $$270° = 270 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{2} \text{ rad}$$ $$50° = 50 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{18} \text{ rad}$$ $$75° = 75 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{12} \text{ rad}$$

4. Kontrola a konečné odpovědi

Převodní tabulka stupně → radiány:
  • 45° → π/4 rad ≈ 0,785 rad
  • 30° → π/6 rad ≈ 0,524 rad
  • 60° → π/3 rad ≈ 1,047 rad
  • 90° → π/2 rad ≈ 1,571 rad
  • 180° → π rad ≈ 3,142 rad
  • 270° → 3π/2 rad ≈ 4,712 rad
  • 50° → 5π/18 rad ≈ 0,873 rad
  • 75° → 5π/12 rad ≈ 1,309 rad
Kontrola rozumnosti: Všechny výsledky jsou menší než 2π ≈ 6,28 rad (celá kružnice), což je správné. Největší úhel 270° odpovídá 3/4 kružnice.
Alternativní způsob: Můžeme si pamatovat: 1° = π/180 rad ≈ 0,0175 rad, pak pouze násobíme počet stupňů tímto faktorem.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč se radiány používají ve fyzice místo stupňů?
  • Jak byste rychle odhadli, že 1 radián ≈ 60°?
  • V jakých oblastech jsou radiány nezbytné a proč?
  • Proč mají "pěkné úhly" jednoduché zlomky π?
  • Jak souvisí radiány s definicí trigonometrických funkcí?