95. Umělá družice - rychlost na oběžné dráze

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Geostacionární družice na výšce 35 786 km "visí" nad jedním bodem na zemském povrchu, protože jejich orbitální perioda odpovídá rotaci Země. Díky tomu fungují satelitní antény, TV přijímače a GPS systémy. Bez těchto družic by nebyly možné mezinárodní telekomunikace, přesné předpovědi počasí ani globální navigace. Výpočet orbitální rychlosti je základem pro návrh všech kosmických misí a správné nasměrování anténních systémů.

Zadání

Umělá družice obíhá okolo Země po kruhové orbitě o poloměru 42 250 km. Jakou rychlostí se pohybuje, jestliže okolo Země obletí jednou za 24 h?

Řešení

1. Analýza situace a parametrů orbity

Logika výběru: Jedná se o geostacionární družici - obíhá za 24 hodin, takže se "vznáší" nad jedním místem na Zemi. Pro kruhový pohyb používáme vztah rychlost = dráha/čas.
Pozor na jednotky! Poloměr orbity musíme převést z kilometrů na metry, periodu z hodin na sekundy. Geostacionární orbita je specifická výška - pouze tam může družice "viset" nad jedním místem.
Dané hodnoty:
  • Poloměr orbity: r = 42 250 km = 42,25 × 10⁶ m
  • Orbitální perioda: T = 24 h = 86 400 s
  • Výška nad povrchem: cca 35 900 km (poloměr Země ≈ 6 400 km)
  • Hledáme: orbitální rychlost v

2. Výběr fyzikální rovnice

Proč tuto rovnici? Pro kruhový pohyb použijeme vztah mezi rychlostí, dráhou a časem. Dráha za jednu periodu je obvod kružnice orbity.
$$v = \frac{s}{t} = \frac{2\pi r}{T}$$

kde s = 2πr je obvod kružnice (dráha za jednu periodu)

Praktická analogie: Družice je jako rychlý vlak jedoucí po kruhové trati. Čím větší je trať (orbita), tím rychleji musí jet, aby stihl celé kolo za stejný čas.

3. Algebraické vyjádření a výpočet

Užitečný tip: Geostacionární družice musí letět rychlostí přes 11 000 km/h, aby udržela synchronizaci s rotací Země. To je rychlejší než nejrychlejší proudová letadla!

Krok 1: Převod jednotek

$$r = 42\,250 \text{ km} = 42{,}25 \times 10^6 \text{ m}$$ $$T = 24 \text{ h} = 24 \times 3\,600 \text{ s} = 86\,400 \text{ s}$$

Krok 2: Obvod orbity

$$s = 2\pi r = 2 \times \pi \times 42{,}25 \times 10^6 \text{ m}$$ $$s \approx 2{,}654 \times 10^8 \text{ m} = 265\,400 \text{ km}$$

Krok 3: Orbitální rychlost

$$v = \frac{2{,}654 \times 10^8 \text{ m}}{86\,400 \text{ s}} \approx 3\,072 \text{ m·s⁻¹}$$ $$v = 3{,}072 \text{ km·s⁻¹} = 11\,060 \text{ km·h⁻¹}$$

4. Kontrola a interpretace výsledku

Odpověď:
  • Orbitální rychlost družice: 3,07 km·s⁻¹ (11 060 km·h⁻¹)
  • Obvod orbity: 265 400 km
Kontrola rozumnosti: Rychlost 11 060 km/h je 6,6× rychlejší než rotace Země na rovníku (1 674 km/h). Družice musí letět rychleji, aby "dohnala" rotaci na větším poloměru.
Alternativní způsob: Můžeme použít úhlovou rychlost: ω = 2π/T = 2π/86400 = 7,27×10⁻⁵ rad/s, pak v = ωr = 3,07 km/s
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč se geostacionární družice "nepohybují" vzhledem k Zemi, ačkoli letí rychlostí 11 000 km/h?
  • Jak by se změnila orbitální rychlost, kdyby družice obíhala ve výšce 200 km (jako ISS)?
  • Proč všechny geostacionární družice musí obíhat nad rovníkem?
  • Jak souvisí orbitální rychlost s gravitační silou a odstředivou silou?
  • Kolik energie je potřeba k vynesení 1 kg hmoty na geostacionární orbitu?