94. Pneumatika automobilu - úhlová rychlost z rychlosti vozidla

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Výpočty úhlové rychlosti pneumatik jsou základem pro správnou funkci ABS brzd, kontroly trakce (ASR), a ESP systémů. Systémy monitorují rychlost otáčení každého kola zvlášť - rozdíl úhlových rychlostí signalizuje prokluz nebo zablokovaní. Také pomocí GPS a úhlové rychlosti kol se ověřuje přesnost rychloměrů. Správný tlak v pneumatikách ovlivňuje efektivní poloměr kola a tím přesnost rychloměru.

Zadání

Vozidlo má pneumatiky o průměru 0,55 m. Zjistěte úhlovou rychlost bodu na vnějším obvodu pneumatiky, jestliže se auto pohybuje rychlostí 30 m/s.

Řešení

1. Analýza situace a zadané hodnoty

Logika výběru: Jedná se o kinematiku odvalujícího se kola bez prokluzu. Rychlost vozidla odpovídá obvodové rychlosti pneumatiky v místě kontaktu se zemí.
Pozor na jednotky! Bez prokluzu platí rychlost vozidla = obvodová rychlost pneumatiky. Pozor na správný převod průměru na poloměr! Rychlost 30 m/s = 108 km/h.
Dané hodnoty:
  • Průměr pneumatiky: d = 0,55 m
  • Poloměr pneumatiky: r = d/2 = 0,275 m
  • Rychlost vozidla: v = 30 m·s⁻¹ = 108 km·h⁻¹
  • Hledáme: úhlová rychlost ω

2. Výběr fyzikální rovnice

Proč tyto rovnice? Pro vztah mezi lineární a úhlovou rychlostí odvalůjícího se kola používáme základní kinematický vztah. Bez prokluzu se kolo "převaluje" po zemi.
$$v = \omega \cdot r \text{ (bez prokluzu)}$$ $$\omega = \frac{v}{r} \text{ (úhlová rychlost)}$$ $$f = \frac{\omega}{2\pi} \text{ (frekvence)}$$
Praktická analogie: Kolo se chová jako "měřítko" - kolikrát se otočí, tolikrát svým obvodem "změří" ujetou vzdálenost. Čím menší kolo, tím více otáček na stejnou vzdálenost.

3. Algebraické vyjádření a výpočet

Užitečný tip: Mechanici používají tento vztah pro výpočet správného převodového poměru a kalibraci rychloměrů podle velikosti pneumatik. Větší pneumatiky = méně otáček při stejné rychlosti.

Krok 1: Úhlová rychlost

$$\omega = \frac{v}{r} = \frac{30 \text{ m·s⁻¹}}{0{,}275 \text{ m}} = 109{,}1 \text{ rad·s⁻¹}$$

Krok 2: Frekvence (otáčky za sekundu)

$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{109{,}1}{2\pi} = 17{,}4 \text{ Hz}$$

Krok 3: Otáčky za minutu (RPM)

$$\text{RPM} = f \times 60 = 17{,}4 \times 60 = 1\,044 \text{ otáček·min⁻¹}$$

4. Kontrola a interpretace výsledku

Odpověď:
  • Úhlová rychlost pneumatiky: 109 rad·s⁻¹
  • Frekvence: 17,4 Hz
  • Otáčky za minutu: 1 044 RPM
Kontrola rozumnosti: Přes 1000 RPM při 108 km/h odpovídá typickým parametrům osobních aut. Hodnoty jsou realistické pro střední rychlost na silnici.
Alternativní způsob: Můžeme počítat z ujeté vzdálenosti a obvodu: za 1 s ujede auto 30 m, obvod kola = 2π × 0,275 = 1,73 m → počet otáček = 30/1,73 = 17,4 Hz
🤔 Metakognitivní otázky
  • Jak by se změnila úhlová rychlost, kdyby mělo auto menší pneumatiky (r = 0,3 m)?
  • Proč musí být všechny čtyři pneumatiky stejné velikosti a jak ovlivňuje tlak efektivní poloměr?
  • Jak fungují ABS brzdy a ESP systémy na základě porovnávání úhlových rychlostí kol?
  • Proč se rychloměry aut kalibrují podle konkrétních rozměrů pneumatik?
  • Co se stane s měřením rychlosti při prokluzu nebo blokování kol?