93. Pulsar - extrémní rotace

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Pulsary jsou neutronové hvězdy - nejhustší objekty ve vesmíru po černých dírách. Mají hmotnost 1,4 Slunce vtěsnanou do průměru pouhých 15 km! Rychle rotující pulsary slouží jako kosmické "majáky" a nejpřesnější hodiny ve vesmíru. Jejich studium pomáhá testovat obecnou teorii relativity a hledat gravitační vlny. Rychlosti na jejich povrchu dosahují zlomků rychlosti světla a umožňují studium extrémní fyziky.

Zadání

Pulsar o průměru 15 km rotuje s frekvencí 9 Hz. Vypočtěte rychlost bodu na rovníku pulsaru.

Řešení

1. Analýza situace a zadané hodnoty

Logika výběru: Pulsar je extrémně hustý objekt rotující jako tuhé těleso. I při klasické mechanice dosahují rychlosti na povrchu relativistických hodnot - zlomků rychlosti světla.
Pozor na jednotky! Při extrémních rychlostech blízkých rychlosti světla by měly být použity relativistické korekce, ale pro tento výpočet používáme klasickou mechaniku. Nezapomeňte převést km na metry!
Dané hodnoty:
  • Průměr pulsaru: d = 15 km
  • Poloměr pulsaru: r = d/2 = 7,5 km = 7 500 m
  • Frekvence rotace: f = 9 Hz
  • Hledáme: rychlost na rovníku pulsaru v

2. Výběr fyzikální rovnice

Proč tyto rovnice? I pro extrémně rychle rotující objekty používáme stejné základní vztahy rotační kinematiky. Zajímavé je porovnání s rychlostí světla.
$$\omega = 2\pi f \text{ (úhlová rychlost)}$$ $$v = \omega \cdot r \text{ (obvodová rychlost)}$$ $$\frac{v}{c} \text{ (poměr k rychlosti světla)}$$
Praktická analogie: Představte si extrémně malou káču, která se točí tisíckrát rychleji než nejrychlejší pračky. Rychlost na okraji je tak velká, že se blíží rychlosti světla.

3. Algebraické vyjádření a výpočet

Užitečný tip: Rychlost světla c = 3×10⁸ m/s je důležitá referenční hodnota. Když se objekt blíží k 10% rychlosti světla, začínají být relativistické efekty významné.

Krok 1: Úhlová rychlost

$$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 9 = 18\pi = 56{,}55 \text{ rad·s⁻¹}$$

Krok 2: Rychlost na rovníku

$$v = \omega \times r = 56{,}55 \times 7\,500 = 424\,125 \text{ m·s⁻¹}$$ $$v = 424\,125 \text{ m·s⁻¹} = 424 \text{ km·s⁻¹}$$

Krok 3: Poměr k rychlosti světla

$$\frac{v}{c} = \frac{424\,125}{3 \times 10^8} = 0{,}0014 = 0{,}14\%$$

4. Kontrola a interpretace výsledku

Odpověď:
  • Rychlost na rovníku pulsaru: 424 km·s⁻¹
  • Poměr k rychlosti světla: 0,14 %
Kontrola rozumnosti: Rychlost 424 km/s je tisíckrát větší než rychlost zvuku (343 m/s) a 900krát větší než rychlost na zemském rovníku (465 m/s). Odpovídá rychlostem blízkým relativistickým efektům.
Alternativní způsob: Můžeme počítat přímo z obvodu a periody: v = obvod/perioda = 2πr/T = 2π × 7500 / (1/9) = 424 km/s
🤔 Metakognitivní otázky
  • Při jakých rychlostech by bylo nutné použít relativistické korekce místo klasické mechaniky?
  • Jaké síly drží materiál na povrchu pulsaru při takto extrémních rychlostech?
  • Proč jsou pulsary tak přesné "kosmické hodiny" a jak je využíváme v astronomii?
  • Jak by se změnila rychlost, kdyby pulsar rotoval ještě rychleji - například 100 Hz?
  • Proč neutronové hvězdy mohou rotovat tak rychle, aniž by se rozpadly?