92. Rychlost bodů na zemském rovníku

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Rychlost rotace Země na rovníku je klíčová pro kosmonautiku - rakety se startují směrem na východ, aby využily "rozběh" planety k úspoře paliva. Kosmické středisko na rovníku (jako Kourou ve Francouzské Guyaně) může ušetřit až 465 m/s rychlosti při startu! Proto jsou kosmodromy umístěné co nejblíže k rovníku. Tato rychlost také ovlivňuje navigaci letadel, výpočty balistických trajektorií a fungování GPS systémů.

Zadání

Jaká je rychlost bodů na zemském rovníku? Uvažujte poloměr Země 6 378 km, úhlová rychlost otáčení Země je 7,29×10⁻⁵ rad/s. Určete také frekvenci.

Řešení

1. Analýza situace a zadané hodnoty

Logika výběru: Země rotuje kolem své osy jako tuhé těleso - každý bod na zemském povrchu má stejnou úhlovou rychlost, ale různou lineární rychlost podle vzdálenosti od osy rotace. Na rovníku je tato vzdálenost největší.
Pozor na jednotky! Poloměr Země musíme převést z kilometrů na metry. Úhlová rychlost je už v SI jednotkách (rad·s⁻¹). Výsledná rychlost bude v m·s⁻¹.
Dané hodnoty:
  • Poloměr Země: R = 6 378 km = 6,378 × 10⁶ m
  • Úhlová rychlost rotace: ω = 7,29 × 10⁻⁵ rad·s⁻¹
  • Hledáme: rychlost na rovníku v, frekvence f

2. Výběr fyzikální rovnice

Proč tyto rovnice? Pro výpočet rychlosti bodu na rotujícím tělese používáme základní vztah rotační kinematiky. Frekvenci získáme z úhlové rychlosti vztahem ω = 2πf.
$$v = \omega \cdot R \text{ (obvodová rychlost)}$$ $$f = \frac{\omega}{2\pi} \text{ (frekvence)}$$ $$T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega} \text{ (perioda)}$$
Praktická analogie: Představte si obří kolotoč - čím dále od středu stojíte, tím rychleji se pohybujete vpřed, i když se kolotoč otáčí stejně rychle. Rovník je "okraj" zemského kolotoče.

3. Algebraické vyjádření a výpočet

Užitečný tip: Země dělá jednu otáčku za 24 hodin = 86 400 sekund. Můžeme si ověřit výsledek výpočtem frekvence a porovnáním s touto známou hodnotou.

Krok 1: Rychlost na rovníku

$$v = \omega \times R = 7{,}29 \times 10^{-5} \times 6{,}378 \times 10^6$$ $$v = 7{,}29 \times 6{,}378 \times 10^1 = 465{,}2 \text{ m·s⁻¹}$$ $$v = 465{,}2 \text{ m·s⁻¹} \times 3{,}6 = 1\,675 \text{ km·h⁻¹}$$

Krok 2: Frekvence rotace

$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{7{,}29 \times 10^{-5}}{2\pi} = \frac{7{,}29 \times 10^{-5}}{6{,}283} = 1{,}16 \times 10^{-5} \text{ Hz}$$

Krok 3: Kontrola pomocí periody

$$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{1{,}16 \times 10^{-5}} = 86\,207 \text{ s} \approx 24 \text{ h}$$ ✓

4. Kontrola a interpretace výsledku

Odpověď:
  • Rychlost na rovníku: 465 m·s⁻¹ (1 675 km·h⁻¹)
  • Frekvence: 1,16 × 10⁻⁵ Hz
Kontrola rozumnosti: Rychlost 1 675 km/h odpovídá rychlosti proudového letadla - správný řád velikosti pro rotaci planety. Perioda 24 hodin souhlasí s rotací Země.
Alternativní způsob: Můžeme počítat z obvodu a doby rotace: v = obvod/čas = 2πR/T = 2π × 6,378×10⁶/(24×3600) = 465 m·s⁻¹
🤔 Metakognitivní otázky
  • Jak se mění rychlost rotace se zeměpisnou šířkou a jaká je na 45° severní šířky?
  • Proč mají kosmické základny výhodu, když jsou umístěné blíže k rovníku?
  • Jak ovlivňuje rotace Země směr větru a mořských proudů (Coriolisův jev)?
  • Jaký vliv má tato rychlost na přesnost GPS navigace?
  • Proč se satelity startují směrem na východ a ne na západ?