91. Hřídel stroje - úhlová rychlost z otáček

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: V průmyslu se otáčky strojů měří v RPM (otáček za minutu) pro kontrolu výkonu a diagnostiku poruch. Správná rychlost otáčení je kritická - příliš pomalé otáčky snižují produktivitu, příliš rychlé vedou k opotřebení a možnému selhání. Inženýři používají převodovky k transformaci vysokých otáček motorů na optimální rychlost pro pracovní nástroje. Vibrace při nesprávných otáčkách mohou způsobit katastrofické selhání.

Zadání

Určete úhlovou rychlost hřídele, která vykoná 120 otáček za 1 minutu. Najděte periodu a frekvenci tohoto pohybu.

Řešení

1. Analýza situace a zadané hodnoty

Logika výběru: Jedná se o uniformní rotační pohyb hřídele, kde počítáme základní kinematické parametry - frekvenci, periodu a úhlovou rychlost z daných otáček za minutu.
Pozor na jednotky! RPM (otáčky za minutu) musíme převést na Hz (otáčky za sekundu) pro fyzikální výpočty. Úhlová rychlost bude v rad·s⁻¹, perioda v sekundách.
Dané hodnoty:
  • Počet otáček: n = 120 otáček za minutu = 120 RPM
  • Čas: t = 1 minuta = 60 s
  • Hledáme: úhlová rychlost ω, frekvence f, perioda T

2. Výběr fyzikální rovnice

Proč tyto rovnice? Pro rotační pohyb používáme základní vztahy mezi frekvencí (kolik otáček za sekundu), periodou (jak dlouho trvá jedna otáčka) a úhlovou rychlostí (kolik radiánů za sekundu).
$$f = \frac{n}{t} \text{ (frekvence)}$$ $$T = \frac{1}{f} \text{ (perioda)}$$ $$\omega = 2\pi f \text{ (úhlová rychlost)}$$
Praktická analogie: Frekvence je jako tempo srdečního tepu - počet úderů za sekundu. Perioda je doba mezi dvěma údeřy. Úhlová rychlost říká, jak rychle se "otáčí" kruhový cyklus.

3. Algebraické vyjádření a výpočet

Užitečný tip: Vždy začněte převedením RPM na Hz. Zapamatujte si: 1 RPM = 1/60 Hz. V průmyslu je 120 RPM typická rychlost pro střední strojní zařízení.

Krok 1: Frekvence

$$f = \frac{120 \text{ otáček}}{60 \text{ s}} = 2 \text{ Hz}$$

Krok 2: Perioda

$$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \text{ s}$$

Krok 3: Úhlová rychlost

$$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2 = 4\pi \text{ rad·s⁻¹}$$ $$\omega = 4 \times 3{,}14159 = 12{,}57 \text{ rad·s⁻¹}$$

4. Kontrola a interpretace výsledku

Odpověď:
  • Frekvence: 2 Hz
  • Perioda: 0,5 s
  • Úhlová rychlost: 12,57 rad·s⁻¹
Kontrola rozumnosti: 120 RPM je typická rychlost středních průmyslových strojů (ventilátory, čerpadla). Frekvence 2 Hz znamená 2 otáčky za sekundu, což odpovídá střednímu tempu rotace.
Alternativní způsob: Úhlovou rychlost můžeme vypočítat přímo: ω = (120 otáček/min) × (2π rad/otáčka) × (1 min/60 s) = 12,57 rad·s⁻¹
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč používá průmysl jednotku RPM místo Hz, když Hz je standardní SI jednotka?
  • Jak by se změnily výsledky, kdyby hřídel rotoval 240 RPM?
  • Jaký je praktický význam periody rotace pro návrh převodovek?
  • Proč je důležité monitorovat otáčky strojů v reálném čase?
  • Jak souvisí úhlová rychlost s centripetálním zrychlením bodů na hřídeli?