90. Kolo bicyklu - úhlová rychlost a rychlost pláště

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Cyklisté používají cyklocomputer pro měření rychlosti - ten počítá na základě otáček kola a jeho obvodu. Profesionální cyklisté při sprintu dosahují kadence až 180 otáček za minutu, zatímco při stoupání používají nižší kadenci ale vyšší převodový poměr. Správné pochopení vztahu mezi úhlovou rychlostí kola a rychlostí bicyklu je klíčové pro optimalizaci výkonu sportovců a návrh efektivních převodových systémů.

Zadání

Kolo bicyklu má průměr 0,5 m a vykoná 7 otáček za sekundu. Určete úhlovou rychlost a rychlost otáčení bodu na plášti kola.

Řešení

1. Analýza situace a zadané hodnoty

Logika výběru: Jedná se o rotační pohyb tuhého tělesa (kola), kde každý bod na obvodu má stejnou úhlovou rychlost, ale různé body mají různou lineární rychlost podle vzdálenosti od osy otáčení.
Pozor na jednotky! Frekvence je v Hz (otáčky za sekundu), úhlová rychlost v rad·s⁻¹, lineární rychlost v m·s⁻¹. Nezapomeňte převést průměr na poloměr!
Dané hodnoty:
  • Průměr kola: d = 0,5 m
  • Poloměr kola: r = d/2 = 0,25 m
  • Frekvence otáčení: f = 7 otáček/s = 7 Hz
  • Hledáme: úhlová rychlost ω, rychlost bodu na plášti v

2. Výběr fyzikální rovnice

Proč tyto rovnice? Pro kruhový pohyb bez prokluzu platí základní vztahy rotační kinematiky. Úhlová rychlost se vypočítá z frekvence, lineární rychlost pak z úhlové rychlosti a poloměru.
$$\omega = 2\pi f \text{ (úhlová rychlost)}$$ $$v = \omega \cdot r \text{ (obvodová rychlost)}$$ $$v_{\text{bicykl}} = v_{\text{plášť}} \text{ (bez prokluzu)}$$
Praktická analogie: Kolo bicyklu funguje jako hodiny - každý bod na obvodu se otočí o stejný úhel za stejný čas, ale body vzdálenější od středu urazí větší vzdálenost a mají větší rychlost.

3. Algebraické vyjádření a výpočet

Užitečný tip: Vždy nejdříve vypočítejte úhlovou rychlost z frekvence, pak teprve lineární rychlost. Zkontrolujte si, že úhlová rychlost je v radiánech za sekundu!

Krok 1: Úhlová rychlost

$$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 7 = 14\pi \text{ rad·s⁻¹}$$ $$\omega = 14 \times 3{,}14159 = 43{,}98 \text{ rad·s⁻¹}$$

Krok 2: Rychlost na plášti kola

$$v = \omega \times r = 43{,}98 \times 0{,}25 = 11{,}0 \text{ m·s⁻¹}$$ $$v = 11{,}0 \text{ m·s⁻¹} \times 3{,}6 = 39{,}6 \text{ km·h⁻¹}$$

4. Kontrola a interpretace výsledku

Odpověď:
  • Úhlová rychlost: 44,0 rad·s⁻¹
  • Rychlost na plášti: 11,0 m·s⁻¹ (39,6 km·h⁻¹)
Kontrola rozumnosti: Rychlost 39,6 km/h odpovídá rychlosti zkušeného cyklisty na silnici. Frekvence 7 Hz (420 otáček za minutu) je velmi vysoká - odpovídá rychlému sprintu profesionálního cyklisty.
Alternativní způsob: Můžeme vypočítat rychlost přímo z obvodu a frekvence: v = obvod × frekvence = 2πr × f = 2π × 0,25 × 7 = 11,0 m·s⁻¹
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč má každý bod na obvodu kola stejnou úhlovou rychlost, ale různou lineární rychlost?
  • Jak by se změnila rychlost bicyklu, kdyby cyklista použil větší převodový poměr?
  • Proč cyklocomputery potřebují znát přesný obvod kola pro správné měření rychlosti?
  • Jak souvisí kadence (otáčky pedálů) s otáčkami zadního kola u bicyklu s převody?
  • Proč jsou při prokluzu kola výpočty rychlosti z otáček nepřesné?