89. Gramofon - perioda a frekvence rotace

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Gramofonové desky vyžadují přesnou rychlost otáčení pro správné přehrávání hudby! LP desky se točí rychlostí 33⅓ rpm, zatímco single desky 45 rpm. Chyba v rychlosti rotace způsobí změnu výšky tónu - pomalší otáčení způsobí hlubší zvuk, rychlejší vyšší. Proto jsou kvalitní gramofonové přehrávače velmi přesné mechanické zařízení. Podobné principy se používají v motorech, ventilátorech, center...fuge a všude, kde je potřeba kontrolovat rychlost rotace.

Zadání

Gramofon se za minutu otočí 33 krát. Vypočítejte:
a) Perioda a frekvence
b) Úhlová a obvodová rychlost pro r = 0,12 m

1. Analýza rotačního pohybu

💭 Logika výběru: Kruhový pohyb charakterizujeme pomocí periodických veličin (frekvence, perioda) a kinematických veličin (úhlová a obvodová rychlost). Každá má svůj fyzikální význam a jednotky. Úhlová rychlost je stejná pro celé těleso, obvodová závisí na vzdálenosti od osy.
⚠️ Časté chyby při rotaci!
  • Zapomínání převést minuty na sekundy (60 s = 1 min)
  • Záměna úhlové rychlosti (rad·s⁻¹) s obvodovou (m·s⁻¹)
  • Použití stupňů místo radiánů ve vzorcích
  • Nerozlišování mezi otáčkami za minutu (rpm) a frekvencí (Hz)
📝 Dané hodnoty:
  • Počet otáček: $n = 33$ otáček za minutu = 33 rpm
  • Čas: $t = 1$ minuta = $60$ s
  • Poloměr: $r = 0{,}12$ m
  • Podmínky: rovnoměrný kruhový pohyb
  • Hledáme: $T$, $f$, $\omega$, $v$

2. Základní vztahy pro rotační pohyb

🎯 Proč tyto veličiny? Frekvence říká "jak často se něco děje", perioda "jak dlouho trvá jeden cyklus", úhlová rychlost "jak rychle se otáčí" a obvodová rychlost "jak rychle se pohybuje konkrétní bod na obvodu".
Základní definice periodických veličin: $$f = \frac{n}{t} \quad \text{[Hz] - frekvence}$$ $$T = \frac{1}{f} \quad \text{[s] - perioda}$$ Kinematika rotace: $$\omega = 2\pi f \quad \text{[rad·s⁻¹] - úhlová rychlost}$$ $$v = \omega \cdot r \quad \text{[m·s⁻¹] - obvodová rychlost}$$
🎵 Praktická analogie: Představte si gramofonovou jehlu sledující drážku na desce. Jehla se otáčí úhlovou rychlostí ω kolem středu, ale její fyzická rychlost pohybu (obvodová) závisí na tom, jestli je blíž středu nebo kraji desky. Proto u krajů zní hudba "rychleji" než u středu při stejných otáčkách!

3. Výpočet periodických veličin

💡 Užitečná rada: Vždy začněte výpočtem frekvence z počtu otáček za sekundu. Všechny ostatní veličiny pak můžete snadno odvodit. Pozor na převod času z minut na sekundy!

a) Frekvence:

$$f = \frac{n}{t} = \frac{33 \text{ otáček}}{60 \text{ s}} = 0{,}55 \text{ Hz}$$

(Gramofon udělá 0,55 otáčky za sekundu)

Perioda:

$$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{0{,}55} = 1{,}82 \text{ s}$$

(Jedna úplná otáčka trvá 1,82 sekundy)

🔍 Přesný výpočet s přesnějšími čísly

Přesná frekvence: $f = \frac{33}{60} = 0{,}55\overline{00}$ Hz

Přesná perioda: $T = \frac{60}{33} = 1{,}\overline{818181}$ s ≈ 1,82 s

4. Výpočet rychlostí

b) Úhlová rychlost:

$$\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 0{,}55$$ $$\omega = 2 \times 3{,}14159 \times 0{,}55 = 3{,}456 \text{ rad·s⁻¹}$$

(Gramofon se otáčí rychlostí 3,46 radiánů za sekundu)

Obvodová rychlost na poloměru r = 0,12 m:

$$v = \omega \cdot r = 3{,}456 \times 0{,}12 = 0{,}415 \text{ m·s⁻¹}$$

(Bod na obvodu se pohybuje rychlostí 0,415 m/s = 1,49 km/h)

🔄 Alternativní výpočet přes obvod:

Obvod kružnice: $o = 2\pi r = 2\pi \times 0{,}12 = 0{,}754$ m

Obvodová rychlost: $v = \frac{o \times n}{t} = \frac{0{,}754 \times 33}{60} = 0{,}414$ m·s⁻¹ ✓

5. Interpretace výsledků a aplikace

📊 Kompletní odpověď:
  • a) Frekvence: $f = 0{,}55$ Hz
  • a) Perioda: $T = 1{,}82$ s
  • b) Úhlová rychlost: $\omega = 3{,}46$ rad·s⁻¹
  • b) Obvodová rychlost: $v = 0{,}415$ m·s⁻¹
Fyzikální význam:

Gramofon se otočí jednou za 1,82 s, všechny body rotují stejnou úhlovou rychlostí, ale body dál od středu mají větší obvodovou rychlost.

🔍 Kontrola rozumnosti:
  • 33 otáček/min = 0,55 Hz je typické pro LP desky ✓
  • Perioda ~1,8 s znamená pomalou rotaci (viditelnou očima) ✓
  • Obvodová rychlost ~1,5 km/h je pomalá chůze ✓
  • Úhlová rychlost ~3,5 rad/s odpovídá ~200°/s ✓
🎵 Aplikace v hudebním průmyslu:
  • LP desky (33⅓ rpm): Delší hrací doba, nižší kvalita
  • Single desky (45 rpm): Kratší hrací doba, vyšší kvalita
  • Starší desky (78 rpm): Velmi krátká hrací doba, průlomová technologie
  • CD přehrávače: Proměnná rychlost (CLV) pro konstantní lineární rychlost
  • Hard disky: Vysoké rychlosti (5400-15000 rpm) pro rychlý přístup k datům
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč se obvodová rychlost liší pro různé poloměry, ale úhlová zůstává stejná?
  • Jak by se změnila výška tónu, kdyby se gramofon točil 50% rychleji?
  • Jaké síly drží gramofonovou jehlu v drážce při rotaci?
  • Proč mají moderní hard disky mnohem vyšší rychlosti než gramofonové desky?
  • Jak souvisí frekvence rotace s kvalitou reprodukce zvuku?