88. Vzdálenost během páté sekundy volného pádu

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Parašutisté potřebují přesně vědět, jakou rychlostí padají, aby včas vyhodili padák! Jeden parašutista čekající příliš dlouho může během jediné sekundy urazit vzdálenost odpovídající výšce 15-patrové budovy. Horolezci používají podobné výpočty pro bezpečné umístění jisticích bodů, záchranáři při počítání času pádu, a dokonce i konstruktéři výtahů musí znát rychlosti volného pádu pro nouzové brzdy.

Zadání

Jakou vzdálenost urazí těleso během páté sekundy volného pádu?

1. Analýza časového intervalu

💭 Logika výběru: "Pátá sekunda" znamená časový interval mezi 4. a 5. sekundou od začátku pádu. Musíme spočítat rozdíl celkových drah za 5 sekund a za 4 sekundy. Jde o aplikaci kinematické rovnice pro dva různé časy.
⚠️ Kritické rozlišení!
  • "Za 5 sekund" = celková dráha od začátku do konce 5. sekundy
  • "Během páté sekundy" = jen úsek mezi začátkem a koncem 5. sekundy
  • Časový interval: od t = 4 s do t = 5 s
  • Studenti často tyto pojmy zaměňují!
📝 Dané hodnoty:
  • Časový interval: pátá sekunda (t = 4 s až t = 5 s)
  • Gravitační zrychlení: $g = 10$ m·s⁻²
  • Počáteční rychlost: $v_0 = 0$ m·s⁻¹ (volný pád z klidu)
  • Počáteční poloha: $s_0 = 0$ (referenční bod)
  • Hledáme: vzdálenost $\Delta s$ během páté sekundy

2. Kinematické rovnice pro volný pád

🎯 Proč tato rovnice? Volný pád z klidu je speciální případ rovnoměrně zrychleného pohybu s v₀ = 0 a a = g. Používáme rovnici s = ½gt², která popisuje závislost dráhy na čase.
Základní kinematická rovnice pro volný pád: $$s = \frac{1}{2}gt^2$$ Rychlost při volném pádu: $$v = gt$$ Obecná rovnice (pro kontrolu): $$s = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2 = 0 \cdot t + \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2}gt^2$$
🪂 Praktická analogie: Představte si parašutistu, který zapomněl vyhodit padák. První sekundu uletí "jen" 5 metrů, ale čtvrtou sekundu už 35 metrů a pátou sekundu dokonce 45 metrů! Rychlost neustále narůstá, takže každá další sekunda znamená dramaticky větší uražené vzdálenosti.

3. Výpočet celkových drah

💡 Užitečná rada: Vzdálenost během určitého časového intervalu = celková dráha na konci intervalu MINUS celková dráha na začátku intervalu. Toto je základní princip pro výpočet úseků trajektorie.

Celková dráha za 5 sekund:

$$s_5 = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 5^2$$ $$s_5 = 5 \times 25 = 125 \text{ m}$$

Celková dráha za 4 sekundy:

$$s_4 = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 4^2$$ $$s_4 = 5 \times 16 = 80 \text{ m}$$
🔍 Vizualizace postupného zrychlování

Postupné vzdálenosti během jednotlivých sekund:

  • 1. sekunda: 5 m (rychlost roste z 0 na 10 m/s)
  • 2. sekunda: 15 m (rychlost roste z 10 na 20 m/s)
  • 3. sekunda: 25 m (rychlost roste z 20 na 30 m/s)
  • 4. sekunda: 35 m (rychlost roste z 30 na 40 m/s)
  • 5. sekunda: 45 m (rychlost roste z 40 na 50 m/s)

4. Výpočet vzdálenosti během páté sekundy

Rozdílová metoda:

$$\Delta s = s_5 - s_4 = 125 - 80 = 45 \text{ m}$$
🔄 Alternativní řešení pomocí průměrné rychlosti:

Rychlost na začátku 5. sekundy: $v_4 = gt = 10 \times 4 = 40$ m·s⁻¹

Rychlost na konci 5. sekundy: $v_5 = gt = 10 \times 5 = 50$ m·s⁻¹

Průměrná rychlost během 5. sekundy: $v_{avg} = \frac{40 + 50}{2} = 45$ m·s⁻¹

Vzdálenost: $\Delta s = v_{avg} \times \Delta t = 45 \times 1 = 45$ m ✓

🔄 Obecný vzorec pro n-tou sekundu:

Vzdálenost během n-té sekundy volného pádu:

$$\Delta s_n = \frac{g}{2}(n^2 - (n-1)^2) = \frac{g}{2}(2n-1) = g\left(n - \frac{1}{2}\right)$$

Pro 5. sekundu: $\Delta s_5 = 10 \times (5 - 0{,}5) = 10 \times 4{,}5 = 45$ m ✓

5. Bezpečnostní kontext a interpretace

📏 Odpověď: Během páté sekundy volného pádu urazí těleso vzdálenost 45 metrů. Srovnání s reálnými objekty:
  • 45 m = výška 15-patrové budovy
  • 45 m = délka poloviny fotbalového hřiště
  • 45 m = rychlost změny z 40 na 50 m·s⁻¹ (144 na 180 km·h⁻¹)
🔍 Kontrola a rozumnost:
  • Vzdálenost postupně narůstá: 1.s→5m, 2.s→15m, 3.s→25m, 4.s→35m, 5.s→45m ✓
  • Rozdíly tvoří aritmetickou posloupnost s diferencí 10 m ✓
  • 45 m za sekundu odpovídá průměrné rychlosti 162 km·h⁻¹ - realistické pro pád ✓
  • Bez odporu vzduchu by rychlost dále narůstala neomezeně ✓
⚠️ Bezpečnostní implikace:
  • Parašutismus: Každá sekunda prodlení znamená exponenciálně větší nebezpečí
  • Horolezectví: Jištění musí vydržet nárazy při pádu z výšky
  • Stavebnictví: Pracovní ohrady musí ochránit před padajícími předměty
  • Záchranné služby: Výpočet času pro poskytnutí první pomoci
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč se vzdálenost během každé další sekundy zvětšuje o 10 metrů? Jak to souvisí s gravitačním zrychlením?
  • Jak by se změnila odpověď na Měsíci, kde je gravitační zrychlení pouze 1,6 m·s⁻²?
  • V reálném světě kdy začne hrát roli odpor vzduchu a jak ovlivní náš výpočet?
  • Jaká je terminální rychlost parašutisty a proč se dosáhne?
  • Jak dlouho by padal objekt, aby během jedné sekundy urazil 100 metrů?