87. Šikmý vrh z výšky

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Vrh z výšky je všudypřítomný! Od basketbalových střel a golfových úderů z tee po bombardování z letadel a hasičské žebříky. Pochopení vlivu výšky na trajektorii je klíčové pro přesnost ve sportu, vojenství i záchranných službách. Architekti využívají tyto výpočty při navrhování fontán na různých úrovních, piloti při shazování zásilky, a dokonce i fotbalisté při rozehrávkách z tribun.

Zadání

Odvoďte vztah pro horizontální vzdálenost šikmého vrhu v případě, že střílíme sice na rovné zemi, ale z výšky h.

1. Analýza asymetrického problému

💭 Logika výběru: Na rozdíl od klasického šikmého vrhu zde není trajektorie symetrická. Start je ve výšce h, dopad na zemi (y = 0). Musíme řešit kvadratickou rovnici pro dobu letu, protože počáteční a konečná výška se liší.
⚠️ Klíčový rozdíl od klasického vrhu!
  • Trajektorie NENÍ symetrická (start ≠ konec výšky)
  • Doba stoupání ≠ doba klesání
  • Optimální úhel pro max. dostřel NENÍ 45°
  • Dopadová rychlost > počáteční rychlost (vliv potenciální energie)
📝 Geometrické parametry:
  • Počáteční výška: $h$ (nad zemí)
  • Úhel výstřelu: $\alpha$ (vůči horizontále)
  • Počáteční rychlost: $v_0$ (obecná)
  • Podmínky: vakuum, rovná zem jako cíl
  • Hledáme: horizontální vzdálenost $d$ dopadu

2. Parametrické rovnice pohybu z výšky

🎯 Proč modifikace? Standardní rovnice šikmého vrhu předpokládají start z bodu (0,0). Zde startujeme z bodu (0,h), takže vertikální rovnice musí započítat počáteční výšku.
Horizontální pohyb (nezměněn): $$x(t) = v_0 \cos \alpha \cdot t$$ Vertikální pohyb (s počáteční výškou): $$y(t) = h + v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$

(kladné h - startujeme nad zemí)

🏀 Praktická analogie: Je to jako basketbalista stojící na balkoně - míč má na začátku jak horizontální rychlost (jako běžný hod), tak "výhodu" výšky, která mu dává extra energii. Konečný dostřel je větší než kdyby házel ze země.

3. Řešení kvadratické rovnice pro dobu letu

💡 Užitečná rada: Doba letu se najde z podmínky y(t) = 0 (dopad na zem). Výsledkem je kvadratická rovnice v t. Používejte kvadratický vzorec a vyberte kladný kořen (záporný čas nemá fyzikální smysl).

Podmínka dopadu na zem:

$$y(t) = 0 \Rightarrow h + v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 = 0$$ Přeuspořádání do standardního tvaru: $$\frac{1}{2}gt^2 - v_0 \sin \alpha \cdot t - h = 0$$ $$gt^2 - 2v_0 \sin \alpha \cdot t - 2h = 0$$

Aplikace kvadratického vzorce:

Pro rovnici $at^2 + bt + c = 0$: $$a = g, \quad b = -2v_0 \sin \alpha, \quad c = -2h$$ Diskriminant: $$D = b^2 - 4ac = 4v_0^2 \sin^2 \alpha + 8gh$$ Doba letu (kladný kořen): $$t = \frac{2v_0 \sin \alpha + \sqrt{4v_0^2 \sin^2 \alpha + 8gh}}{2g}$$ $$t = \frac{v_0 \sin \alpha + \sqrt{v_0^2 \sin^2 \alpha + 2gh}}{g}$$
🔍 Proč jen kladný kořen?

Záporný kořen by odpovídal "času v minulosti", kdy by projektil býval letěl opačným směrem.

Fyzikálně smysluplný je pouze kladný čas od okamžiku výstřelu.

4. Odvození finálního vzorce pro dostřel

Dosazení doby letu do horizontální rovnice:

$$d = v_0 \cos \alpha \cdot t$$ $$d = v_0 \cos \alpha \cdot \frac{v_0 \sin \alpha + \sqrt{v_0^2 \sin^2 \alpha + 2gh}}{g}$$ Finální obecný vzorec: $$\boxed{d = \frac{v_0 \cos \alpha}{g}\left(v_0 \sin \alpha + \sqrt{v_0^2 \sin^2 \alpha + 2gh}\right)}$$
🔄 Alternativní zápis s faktorizací: $$d = \frac{v_0^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g} + \frac{v_0 \cos \alpha \sqrt{v_0^2 \sin^2 \alpha + 2gh}}{g}$$

První člen = klasický dostřel, druhý člen = bonus z výšky

5. Kontrola limitních případů a interpretace

📊 Konečná odpověď: $$d = \frac{v_0 \cos \alpha}{g}\left(v_0 \sin \alpha + \sqrt{v_0^2 \sin^2 \alpha + 2gh}\right)$$ Fyzikální význam:

Dostřel z výšky = standardní dostřel + bonus z potenciální energie výšky

🔍 Ověření limitních případů:
  • h = 0: $d = \frac{v_0^2 \cos \alpha \sin \alpha + v_0^2 \cos \alpha \sin \alpha}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$ ✓
  • α = 0° (vodorovný vrh): $d = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}$ ✓
  • α = 90° (svislý vrh): $d = 0$ (dopadne na místě) ✓
  • h → ∞: $d → ∞$ (větší výška = větší dostřel) ✓
🎯 Energetické vysvětlení:

Proč je dostřel větší z výšky?

  • Počáteční energie = kinetická + potenciální
  • Při pádu se potenciální energie převádí na kinetickou
  • Vyšší dopadová rychlost → delší doba letu → větší dostřel
  • Výška h přidává energii $mgh$, která se využije pro prodloužení letu
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč trajektorie z výšky není symetrická? Jak to ovlivňuje optimální úhel vrhu?
  • Je optimální úhel pro maximální dostřel z výšky stále 45°? Nebo je menší/větší?
  • Jak se liší doba stoupání a doba klesání při vrhu z výšky?
  • Jaký vliv má výška na bezpečnost při sportovních aktivitách (basketbal, golf)?
  • Proč ve vzorci přibývá člen $\sqrt{2gh}$? Jak souvisí s volným pádem z výšky h?