86. Šikmý vrh ze svahu

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Balistika ze svahu je klíčová v horském terénu! Využívá se při lyžařských skocích, lavině kontrolovaných výbuzích v horách, vojenských operacích v horském terénu, nebo při hasičských zásazích na svazích. Inženýři potřebují tyto výpočty při navrhování skiareálů, vodních trysek na svazích, nebo při práci s bagry a těžební technikou na svazích. Bezpečnostní složky používají tento výpočet pro umístění záchranného vybavení v horách.

Zadání

Odvoďte vztah pro horizontální vzdálenost šikmého vrhu v případě, že střílíme z kopce, tedy ze svahu s úhlem β, přičemž úhel výstřelu α měříme vůči vodorovnému směru.

1. Analýza geometrie a souřadnic

💭 Logika výběru: Šikmý vrh ze svahu kombinuje standardní parabolickou trajektorii projectilu s lineární trajektorií svahu. Dopad nastane v průsečíku těchto dvou křivek - musíme vyřešit soustavu rovnic.
⚠️ Pozor na geometrii!
  • Úhel svahu β se měří dolů od horizontály (záporný sklon)
  • Úhel výstřelu α se měří nahoru od horizontály
  • Horizontální vzdálenost ≠ vzdálenost po svahu!
  • Opatrně se znaménky a souřadným systémem
📝 Geometrické parametry:
  • Úhel svahu: $β$ (dolů od horizontály)
  • Úhel výstřelu: $α$ (nahoru od horizontály)
  • Počáteční rychlost: $v_0$ (obecná)
  • Podmínky: vakuum, start z počátku na svahu
  • Hledáme: horizontální vzdálenost $d$ dopadu

2. Rovnice trajektorie projektilu a svahu

🎯 Proč dvě rovnice? Projektil se pohybuje po parabole (už dokázáno v předchozím příkladě), zatímco svah je přímka. Dopad nastane v bodě, kde se tyto dvě křivky protnou - matematicky řešíme soustavu rovnic.
Rovnice trajektorie projektilu (parabola): $$y = x \tan \alpha - \frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2 \alpha}$$ Rovnice svahu (přímka): $$y = -x \tan \beta$$

(záporné znaménko - svah klesá dolů)

⛷️ Praktická analogie: Představte si lyžaře skákajícího z můstku na sjezdovce. Lyžař letí po parabole (jako všechny projektily), zatímco sjezdovka má konstantní sklon. Dotyk s terénem nastane tam, kde se parabola a přímka potkají.

3. Algebraické řešení soustavy rovnic

💡 Užitečná rada: Klíčem je položit obě rovnice rovny sobě (stejná hodnota y v bodě dopadu) a vyřešit pro x. Pozor na to, že x = 0 je triviální řešení (počáteční bod) - zajímá nás druhé řešení!

Podmínka průsečíku (dopad na svah):

$$x \tan \alpha - \frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2 \alpha} = -x \tan \beta$$ Přeskupení členů: $$x \tan \alpha + x \tan \beta = \frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2 \alpha}$$ $$x(\tan \alpha + \tan \beta) = \frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2 \alpha}$$

Vydělení x (x ≠ 0) a řešení pro x:

$$\tan \alpha + \tan \beta = \frac{gx}{2v_0^2 \cos^2 \alpha}$$ Vyjádření horizontální vzdálenosti: $$x = d = \frac{2v_0^2 \cos^2 \alpha (\tan \alpha + \tan \beta)}{g}$$
🔍 Alternativní úprava pomocí trigonometrie

Můžeme využít identity: $\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$

$$\tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$$

Což dává alternativní tvar:

$$d = \frac{2v_0^2 \cos^2 \alpha \sin(\alpha + \beta)}{g \cos \alpha \cos \beta} = \frac{2v_0^2 \cos \alpha \sin(\alpha + \beta)}{g \cos \beta}$$

4. Další úpravy a speciální případy

Rozšíření výrazu sin α/cos² α:

$$d = \frac{2v_0^2 \cos^2 \alpha (\tan \alpha + \tan \beta)}{g}$$ $$d = \frac{2v_0^2}{g} \cos^2 \alpha \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\right)$$ $$d = \frac{2v_0^2}{g} (\cos \alpha \sin \alpha + \cos^2 \alpha \tan \beta)$$ Finální obecný vzorec: $$\boxed{d = \frac{2v_0^2 \cos^2 \alpha (\tan \alpha + \tan \beta)}{g}}$$
📊 Kontrola speciálních případů:
  • β = 0° (rovný terén): $d = \frac{2v_0^2 \cos^2 \alpha \tan \alpha}{g} = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$ ✓
  • α = 45°: $d = \frac{2v_0^2 \cos^2 45° (1 + \tan \beta)}{g} = \frac{v_0^2 (1 + \tan \beta)}{g}$ ✓
  • β → 90° (svislý útes): $d → ∞$ (projektil nikdy nedopadne na svah) ✓

5. Fyzikální interpretace a aplikace

🔍 Fyzikální smysl výsledku:
  • Pro β > 0: svah dolů → větší dostřel než na rovném terénu
  • Pro β < 0: svah nahoru → menší dostřel než na rovném terénu
  • Závislost na (tan α + tan β): oba úhly se sčítají pozitivně
  • Koeficient cos² α: účinnost horizontální složky rychlosti
🔄 Alternativní odvození pomocí času letu:

1. Doba letu: $t = \frac{2v_0(\sin \alpha + \sin \beta \cos \alpha / \cos \beta)}{g \cos \beta}$

2. Horizontální vzdálenost: $d = v_0 \cos \alpha \cdot t$

3. Výsledek: Stejný vzorec, ale jiná cesta odvození

🏔️ Praktické aplikace v horském terénu:
  • Lyžařské skoky: Optimalizace délky skoků podle sklonu doskočiště
  • Lavinové zabezpečení: Umístění výbušnin pro kontrolované spouštění lavin
  • Horská záchrana: Určení dosahu vrhačů lan nebo záchranného vybavení
  • Vojenské operace: Balistika v horském terénu
  • Stavebnictví: Práce s výbušninami při budování tunelů a cest
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč je dostřel ze svahu dolů větší než na rovném terénu? Jak to souvisí s dobou letu?
  • Existuje optimální úhel výstřelu pro maximální dostřel ze svahu? Je to stále 45°?
  • Jak by se změnil vzorec při střelbě ze svahu nahoru (β záporné)?
  • Jaký vliv má sklon svahu na bezpečnost při lyžařských skocích?
  • Proč se ve vzorci objevuje součet tan α + tan β? Co to říká o geometrii problému?